imported>Tosha в 01:41, 9 октября 2025

2025-10-09T01:41:33Z

Новая страница

'''σ-алгебра''' ('''си́гма-а́лгебра''', '''си́гма-а́лгебра множеств''') — [[Алгебра (теория множеств)|алгебра множеств]], [[Замыкание (алгебра)|замкнутая]] относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в [[Теория меры|теории меры]] и [[интеграл Лебега|интегралов Лебега]], а также в [[теория вероятностей|теории вероятностей]].

== Определение ==
Семейство <math>\mathfrak{S}</math> [[Подмножество|подмножеств]] [[Множество|множества]] <math>X</math> называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам<ref>[[Прохоров, Юрий Васильевич|Прохоров Ю. В.]], Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.</ref>:
# <math>\mathfrak{S}</math> содержит множество <math>X</math>.
# Если <math>E\in \mathfrak{S}</math>, то и его [[Дополнение (теория множеств)|дополнение]] <math>X\backslash E\in\mathfrak{S}</math>.
# [[Объединение множеств|Объединение]] или [[Пересечение множеств|пересечение]] [[Счётное множество|счётного]] подсемейства из <math>\mathfrak{S}</math> принадлежит <math>\mathfrak{S}</math>

== Пояснения ==
* Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит [[пустое множество]] <math>\varnothing</math>.
* Поскольку
*: <math>\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = X\backslash \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\backslash A_n)\right),</math>
: в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало <math>\mathfrak{S}</math>.
* Вместо пункта 1 достаточно требовать, чтобы семейство <math>\mathfrak{S}</math> не было пустым, так как из пункта 3 следует, что пересечение или объединение конечного числа элементов из <math>\mathfrak{S}</math> принадлежит <math>\mathfrak{S}</math> (обратное в общем случае неверно), откуда по пунктам 2 и 3 имеем <math>\emptyset = E \cap (X \backslash E) \in \mathfrak{S}</math> и <math>X = X \backslash \emptyset \in \mathfrak{S} </math>.
* Для любой системы множеств <math>\mathcal{S}</math> существует наименьшая сигма-алгебра <math>\sigma(\mathcal{S})</math>, являющаяся её [[надмножество]]м.
* Сигма-алгебры являются естественной областью определения [[Мера множества#Счётно-аддитивная мера|счётно-аддитивных мер]]. Если мера определена частично (на семействе множеств <math>\mathcal{S}</math>) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на <math>\sigma(\mathcal{S})</math>, то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
* σ-алгебра, '''порождённая''' [[случайная величина|случайной величиной]] <math>\xi:\,X\rightarrow \mathbb{R}</math>, определяется следующим образом:
:: <math>\sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}</math>,
: где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> — [[борелевская сигма-алгебра]] на [[Вещественное число|вещественной прямой]]. Это — ''наименьшая'' сигма-алгебра на пространстве <math>X</math>, относительно которой случайная величина <math>\xi</math> всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве <math>X</math> вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции <math>\xi</math> её можно ввести и наделить таким образом пространство <math>X</math> структурой измеримого пространства, так что функция <math>\xi</math> будет измеримой.

== Измеримое пространство ==
{{main|Измеримое пространство}}
'''Измеримое пространство''' — пара <math>(X, \mathcal F)</math>, где <math>X</math> — множество, а <math>\mathcal F</math> — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

== Примеры ==
* [[Борелевская сигма-алгебра]]
* Для любого множества <math>X</math> существует '''тривиа́льная''' σ-алгебра <math>\left\{X,\varnothing\right\}</math>.
* Для любого множества <math>X</math> существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
| автор = Макаров Б. М.
| заглавие = Лекции по вещественному анализу
| издательство = БХВ-Петербург
| год = 2011
| страниц =
| isbn = 978-5-9775-0631-1
| ref = Макаров
}}

[[Категория:Теория меры]]

Сигма-алгебра - История изменений

imported>Tosha в 01:41, 9 октября 2025