imported>Itkb: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0 */

2022-04-23T02:38:49Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0

Новая страница

{{Значения|Свёртка}}
'''Свёртка''' в ''тензорном исчислении'' — операция понижения валентности [[тензор]]а на 2, переводящая тензор валентности <math>(m, n)</math> в тензор валентности <math>(m-1, n-1)</math>.

==Определение==
В простейшем случае, свёртка для простого тензора <math>v\otimes f</math> типа <math>(1, 1)</math>, определяется как скаляр <math>f(v)</math>.
Эта операция продолжается линейно на все тензоры типа <math>(1, 1)</math>.

В общем случае, тензор типа <math>(m, n)</math> можно рассматривать как [[линейное отображение]] из пространства тензоров валентности <math>(n-1,m-1)</math> в пространство тензоров валентности <math>(1, 1)</math>;
для выбора такого представления надо выбрать ко- контравариантный индекс.
Свёртка образа даёт отображение из пространства тензоров валентности <math>(n-1,m-1)</math> в скаляры, то есть тензор валентности <math>(m-1, n-1)</math>.
Он и называется свёрткой тензора по двум данным индексам.

==Обозначения==

В координатах она записывается следующим образом:
: <math>{T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}} \rightarrow {T^{i_1, \dots, i_n}_{j_1, \dots, j_n}} = {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}</math>
где применено [[соглашение Эйнштейна|правило суммирования Эйнштейна]] по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, то есть в данном случае по <math>i_0</math>.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, <math>A^i_j B^j_k </math> есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это
: <math> \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}</math>.

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако
в случае если задан [[метрический тензор]], ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

: <math>A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}</math>

'''Замечание''': операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат ([[матрица Якоби|матрицами Якоби]]) и с [[символы Кристоффеля|компонентами аффинной связности]], не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как [[тензор кривизны]].

== Примеры ==
* Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
* Свёртка <math>A^i_{\ j} v^j</math> вектора '''v''' с тензором '''A''' ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
* Свёртка <math>\ B_{ij} a^i b^j</math> векторов '''a''' и '''b''' с тензором '''B''' ранга (0,2) является [[Билинейная форма|билинейной формой]]; так свёртка двух векторов с [[метрический тензор|метрическим тензором]] <math>\ g_{ij} a^i b^j</math> дает их скалярное произведение.
* В том числе <math>\ B_{ij} v^i v^j</math> — [[квадратичная форма]]; именно таким образом свертка с [[метрический тензор|метрическим тензором]] дает квадрат нормы вектора.
* Свёртка <math>\ a_j b^j</math> ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
* Свёртка <math>A^j_{\ j}</math> тензора '''A''' ранга (1,1) (с собой) является [[след]]ом матрицы <math>A^i_{\ j}</math>. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
* Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): <math>B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}</math>

== Свойства ==
* Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).

== Литература ==
* {{Книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие=Курс алгебры|ответственный=|издание=2|место=Москва|издательство=МЦНМО|год=2014|страницы=347|страниц=590|isbn=978-5-4439-2013-9}}

[[Категория:Тензорное исчисление]]

Свёртка тензора - История изменений

imported>Itkb: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0 */