imported>Portalizard: /* Свойства */

2025-08-01T16:24:21Z

Свойства

Новая страница

{{Не путать|Односвязное пространство|односвязным пространством}}
[[Файл:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|<span style="background-color:#99ff99;">Множество ''A''</span> связно, а <span style="background-color:#9999ff;">множество ''B''</span> несвязно.]]
'''Связное пространство''' — [[топологическое пространство]], которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых [[Открытое множество|открытых]] подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие [[Линейно связное пространство|линейной связности]].

== Определение ==

Непустое топологическое пространство называется '''несвязным''', если его можно представить в виде [[объединение множеств|объединения]] двух непустых непересекающихся [[Открытое множество|открытых]] подмножеств. '''Связное''' пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.

Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.

Говорят, что подмножество топологического пространства является '''связным''', если оно связано как пространство с [[Индуцированная топология|индуцированной топологией]].

=== Эквивалентные определения ===

Пусть <math>X</math> — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
# <math>X</math> связно.
# <math>X</math> нельзя разбить на два непустых непересекающихся [[Замкнутое множество|замкнутых]] подмножества.
# Единственные подмножества <math>X</math>, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство <math>X</math>.
# Единственные подмножества с пустой [[Граница (топология)|границей]] — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство <math>X</math>.
# <math>X</math> не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
# Единственными непрерывными функциями из <math>X</math> в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

== Связанные определения ==
* Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его '''компонентами связности''', '''связными компонентами''' или просто '''компонентами.'''
** Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется [[Вполне несвязное пространство|'''вполне несвязным''']]. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство <math>\mathbb{Q}</math> рациональных чисел на числовой прямой и [[канторово множество]].
* Если существует [[база топологии]] пространства <math>X</math>, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства <math>X</math> и само пространство <math>X</math> (в этой топологии) называются [[Локально связное пространство|'''локально связными''']].
* Связное [[компактное пространство|компактное]] [[хаусдорфово пространство]] называется '''континуумом'''.
* Пространство <math>X</math>, для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> которого существуют открытые непересекающиеся множества <math>U \ni x</math> и <math>V \ni y</math> такие, что <math>X = U \cup V</math>, называется '''вполне раздельным'''.{{Нет АИ|23|2|2018}} Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества <math>\mathbb{Q}</math>, введём на нём отношение эквивалентности по правилу <math>q \sim p \Leftrightarrow q = p,\; q \neq 0,\; p \neq 0</math>. [[Факторпространство]] по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.

== Свойства ==
* В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
* В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую [[граница (топология)|границу]].
** Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто '''открыто-замкнутыми'''. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
* Образ связного множества при [[непрерывное отображение|непрерывном отображении]] связен.
* Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, [[инвариант (математика)|инвариантное]] относительно [[гомеоморфизм]]ов.
* [[Замыкание (геометрия)|Замыкание]] связного подмножества <math>A</math> связно.
** Более того, всякое «промежуточное» подмножество <math>B</math> (<math>A\subset B \subset \bar{A}</math>) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество <math>A</math> плотно в <math>B</math>, то множество <math>B</math> тоже связно.
* Пусть <math>\{A_{\alpha}\}</math> — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством <math>A</math>. Тогда множество
*: <math>A \cup \left(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}\right)</math>
: тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
* [[Произведение топологических пространств|Произведение]] связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
* Каждая компонента пространства <math>X</math> является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства <math>X</math> не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества <math>A</math> пространства <math>X</math> — это максимальные связные подмножества множества <math>A</math>.
* Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
* Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
* В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
* Любое [[линейно связное пространство]] связно.
** Обратное неверно; например замыкание графика функции <math>\sin\tfrac1x</math> связно, но не линейно связно (это множество содержит отрезок <math>[-1,1]</math> на оси ординат).

== Примеры ==
* [[Псевдодуга]] — пример вполне линейно несвязного континуума.
* [[Веер Кнастера — Куратовского]] — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его [[Вполне несвязное пространство|вполне несвязным]].
* [[Множество Мандельброта]] — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.

== Вариации и обобщения ==
* [[Линейно связное пространство]]

== См. также ==
* [[Вполне несвязное пространство]]
* [[Односвязное пространство]]
* [[Экстремально несвязное пространство]]

{{Топология|state=expanded}}
{{нет ссылок|дата=2022-05-29}}

[[Категория:Общая топология]]

Связное пространство - История изменений

imported>Portalizard: /* Свойства */