imported>Bezik: надо тогда было бы условие |S|=m добавлять — а и так понятно

2022-01-13T12:27:35Z

надо тогда было бы условие |S|=m добавлять — а и так понятно

Новая страница

'''Свя́зное двоето́чие''' (''двоеточие Александрова'') — [[конечное топологическое пространство]] из двух точек определённого типа;
наиболее простой содержательный пример [[Хаусдорфово пространство|нехаусдорфова топологического пространства]] в [[Общая топология|общей топологии]].

Определяется как [[топологическое пространство]], образованное [[множество]]м из двух элементов <math>\circ</math> («открыто») и <math>\bullet</math> («замкнуто»), [[Топологическое пространство|топология]] на котором задана следующим перечнем трёх [[Открытое множество|открытых подмножеств]]:
* <math>\varnothing</math> — [[пустое множество]];
* <math>\{\circ\}</math> — множество из одного элемента «открыто»;
* <math>\{\circ,\bullet\}</math> — всё пространство.

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только <math>\{\circ\}</math>, а [[Замкнутое множество|замкнутым]] — только <math>\{\bullet\}</math>. Мы видим, что точка <math>\bullet</math> не имеет [[Окрестность (топология)|окрестностей]], кроме всего пространства; следовательно, пространство нарушает [[Аксиомы отделимости#Первая аксиома отделимости|аксиому T1]], в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка <math>\circ</math> не является замкнутым подмножеством.

[[Функция (математика)|Отображение]] <math>F</math> из топологического пространства <math>X</math> в связное двоеточие является [[непрерывное отображение|непрерывным]] тогда и только тогда, когда [[прообраз]] <math>F^{-1}(\circ)</math> точки <math>\{\circ\}</math> открыт в <math>X</math> (или, что то же самое, прообраз <math>F^{-1}(\bullet)</math> точки <math>\{\bullet\}</math> замкнут в <math>X</math>). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.
Связное двоеточие является [[связное пространство|связным]] и также [[Линейно связное пространство|линейно связным пространством]].

{{Якорь|Александровский куб}}''Александровский куб'' — [[Произведение топологических пространств|степень]] связного двоеточия <math>F^m</math> — является [[универсальное пространство|универсальным пространством]] для [[Аксиомы отделимости|<math>T_0</math>-пространств]] [[Вес топологического пространства|веса]] <math>m</math> при <math>m\geqslant\aleph_0</math>, то есть любое <math>T_0</math>-пространство веса <math>m</math> гомеоморфно подпространству <math>F^m</math>{{Sfn|Энгелькинг|1986|с=138|loc=Теорема 2.3.26}}.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]]
|заглавие = Введение в теорию множеств и общую топологию

|isbn = 5-354-00822-0
}}
* {{книга|автор=Энгелькинг, Р.|заглавие=Общая топология|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1986|страниц=752|ref=Энгелькинг}}

[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Топологические пространства]]

Связное двоеточие - История изменений

imported>Bezik: надо тогда было бы условие |S|=m добавлять — а и так понятно