imported>Tosha: /* Литература */

2025-06-05T15:49:23Z

Литература

Новая страница

'''Риманово многообразие''', или '''риманово пространство''', <math>(M,g)</math> — это ([[Вещественное число|вещественное]]) [[гладкое многообразие]] <math>M</math>, в котором каждое [[касательное пространство]] снабжено [[Скалярное произведение|скалярным произведением]] <math>g</math> — [[Метрический тензор|метрическим тензором]], меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным [[Евклидово пространство|евклидовым пространством]].

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как [[угол|углы]], длины [[кривая|кривых]], [[площадь поверхности|площади]] (или [[объём (геометрия)|объёмы]]), [[кривизна|кривизну]], [[Градиент (математика)|градиент]] функции и [[дивергенция|дивергенции]] [[векторное поле|векторных полей]].

Риманова метрика <math>g</math> — это положительно определённый симметрический [[тензор]] — [[метрический тензор]]; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное [[тензорное поле]] валентности <math>(0, 2)</math>.

Не стоит путать римановы многообразия с [[риманова поверхность|римановыми поверхностями]] — многообразиями, которые локально выглядят как склейки [[комплексная плоскость|комплексных плоскостей]].

Термин назван в честь немецкого математика [[Риман, Бернхард|Бернхарда Римана]].

== Обзор ==
[[Касательное расслоение]] <math>TM</math> [[Гладкое многообразие|гладкого многообразия]] <math>M</math> ставит в соответствие каждой точке <math>M</math> векторное пространство, называемое [[Касательное пространство|касательным]], и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая <math>\alpha(t)</math>: <math>[0, 1]\rightarrow M</math> имеет касательный вектор <math>\alpha'(t_0)</math> в касательном пространстве <math>TM(t_0)</math> в любой точке <math>t_0\in(0, 1)</math>, и каждый такой вектор имеет длину <math>\|\alpha'(t_0)\|</math>, где <math>\|\cdot\|</math> обозначает [[Норма (математика)|норму]], индуцированную скалярным произведением на <math>TM(t_0)</math>. [[Интеграл]] по этим длинам даёт длину всей кривой <math>\alpha</math>:

: <math>L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}.</math>

Гладкость <math>\alpha(t)</math> для <math>t</math> в <math>[0, 1]</math> гарантирует, что интеграл <math>L(\alpha)</math> существует и длина кривой определена.

Во многих случаях для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие <math>R^n</math> имеет индуцированную метрику <math>g</math>: скалярное произведение на каждом касательном пространстве — это просто скалярное произведение на <math>R^n</math>. Имеет место и обратный факт: [[теорема Нэша о регулярных вложениях]] утверждает, что любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в <math>R^n</math> достаточной большой размерности <math>n</math>.

== Измерение длин и углов при помощи метрики ==

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция <math>x(t)</math> параметра <math>t</math>, меняющегося от <math>a</math> до <math>b</math>), равна:

: <math>L = \int\limits_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}\,dt
= \int\limits_{x(a)}^{x(b)} \sqrt{ g_{ij}\,dx^i\,dx^j}.</math>

Угол <math> \theta \ </math> между двумя векторами, <math>U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> и <math>V=v^j{\partial\over \partial x^j} \ </math> (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

: <math>\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}.</math>

== Обобщения ==
* [[Псевдориманово многообразие]]
* [[Субриманово многообразие]]
* [[Финслерова геометрия|Финслерово многообразие]]

== Литература ==
*{{книга|автор=Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А.|заглавие=Введение в риманову геометрию|год=1994|серия=|ссылка=|место=Санкт-Петербург|издательство=Наука|тираж=|страниц=|isbn=5-02-024606-9}}
* ''Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко''. Современная геометрия. — Любое издание.
* ''А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко''. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
* [http://math.nsc.ru/LBRT/d6/chair/documents/Sharafutdinov/Sharafutdinov_Riemannian_Geometry_Chapter_5.pdf В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия]

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия|Многообразие]]
[[Категория:Структуры на многообразиях]]

Риманово многообразие - История изменений

imported>Tosha: /* Литература */