imported>Matsievsky: /* Преамбула */

2025-01-03T12:52:26Z

Преамбула

Новая страница

[[Файл:RationalDegree2byXedi.svg|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от одной переменной: <math>f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>]]
[[Файл:Rational function of two variables.png|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от двух переменных]]

'''Рациона́льная фу́нкция''' ({{lang-en|Rational function}}), или '''дро́бно-рациона́льная фу́нкция''', или '''рациона́льная дробь''' — это [[числовая функция]], которая может быть представлена в виде дроби, [[числитель|числителем]] и [[дробь (математика)|знаменателем]] которой являются [[многочлен]]ы. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение{{переход|Рациональное выражение}}, то есть [[алгебраическое выражение]], без [[Арифметический корень|радикалов]].

== Формальное определение ==

'''Рациональная функция{{sfn|''Дробно-рациональная функция'', 1979}}{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=с. 226}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 121}}, или дробно-рациональная функция{{sfn|''Дробно-рациональная функция'', 1979}}{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}, или рациональная дробь{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}''' — это [[числовая функция]] вида
:<math>\mathbb{U} \to \mathbb{U} : w = R(u),</math>
где <math>\mathbb{U}</math> — [[комплексное число|комплексные]] (<math>\C</math>) или [[вещественное число|вещественные]] (<math>\R</math>) числа, <math>R(u)</math> — рациональное выражение от <math>u</math>. [[Алгебраическое выражение#Частные случаи|'''Рациональное выражение''']] — это [[математическое выражение]], составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа [[Арифметика|арифметических действий]] (то есть [[Сложение|сложения]], [[Вычитание|вычитания]], [[Умножение|умножения]], [[Деление (математика)|деления]] и [[Возведение в степень|возведения в целую степень]]){{sfn|''Долженко Е. П.'' Рациональная функция, 1984}}.

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов <math>P(u)</math> и <math>Q(u)</math>:
:<math>R(u) = \frac{P(u)}{Q(u)} = \frac{a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + \cdots + a_n u^n}{b_0 + b_1 u + b_2 u^2 + \cdots + b_m u^m},</math>
где <math>Q(u) \not\equiv 0.</math> '''Коэффициенты рациональной функции''' — это коэффициенты многочленов <math>P(u)</math> и <math>Q(u)</math>:
:<math>a_0, a_1, a_2, \dots, a_n</math> и <math>b_0, b_1, b_2, \dots, b_m</math>{{sfn|''Долженко Е. П.'' Рациональная функция, 1984}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=с. 121}}.

=== Частные случаи ===
* '''[[Целая рациональная функция]]''' — функция вида
::<math>\R \to \R : y = \frac{P(x)}{1},</math>
:где переменная <math>x</math> действительна.

{{Основная статья|Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости}}

* '''[[Дробно-линейная функция]]''' — отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] комплексного переменного:
::<math>\C \to \C : w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}.</math>
:* '''Преобразование Кэли'''
:::<math>\C \to \C : w = W(z) = \frac{z - i}{z + i}.</math>

* '''[[Функция Жуковского]]''' — рациональная функция комплексного переменного
::<math>\C \to \C : w = \lambda(z) = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right),</math>
:имеющая важные применения в [[Гидромеханика|гидромеханике]], открытые [[Жуковский, Николай Егорович|Н. Е. Жуковским]]{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Жуковского функция, 1979}}.

=== Обобщения ===
* '''Рациональные функции от нескольких переменных''' (комплексных или вещественных)
::<math>\mathbb{U}^{\max(n, m)} \to \mathbb{U} : w = R(u_1, u_2, \dots, u_{\max(n, m)}) = \frac{P(u_1, u_2, \dots, u_n)}{Q(u_1, u_2, \dots, u_m)},</math>
:где <math>Q(u_1, u_2, \dots, u_m) \not\equiv 0</math>{{sfn|''Долженко Е. П.'' Рациональная функция, 1984}}.
* '''Абстрактные рациональные функции'''
::<math>R = \frac{A_1 F_1 + A_2 F_2 + \cdots + A_n F_n}{B_1 F_1 + B_2 F_2 + \cdots + B_m F_m},</math>
:где <math>F_1, F_2, \dots, F_{\max(n, m)}</math> — [[Линейная независимость|линейно независимая]] система [[Непрерывная функция|непрерывных функций]] на некотором [[Компактное пространство|компактном пространстве]], <math>A_1, A_2, \dots, A_n,</math> и <math>B_1, B_2, \dots, B_m</math> — числовые коэффициенты{{sfn|''Долженко Е. П.'' Рациональная функция, 1984}}.

== Вещественная рациональная функция ==

=== Несократимая рациональная дробь ===
'''Несократимая рациональная дробь''' — это рациональная дробь, у которой числитель [[Взаимно простые числа#Вариации и обобщения|взаимно прост]] со знаменателем{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}.

''Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя.'' '''Равенство''' двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}.

{{Начало скрытого блока|заголовок = Доказательство}}
Сначала докажем, что ''если произведение многочленов <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> делится на <math>\varphi(x)</math>, причём <math>f(x)</math> и <math>\varphi(x)</math> взаимно просты, то <math>g(x)</math> делится на <math>\varphi(x)</math>''{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 141—142}}.

1. Известно, что многочлены <math>f(x)</math> и <math>\varphi(x)</math> взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math>, что
:<math>f(x)u(x) + \varphi(x)v(x) = 1.</math>
2. Умножим это равенство на <math>g(x)</math>:
:<math>[f(x)g(x)]u(x) + g(x)[\varphi(x)v(x)] = g(x).</math>
3. Оба слагаемых этого равенства делятся на <math>\varphi(x)</math>, следовательно, <math>g(x)</math> также делится на <math>\varphi(x)</math>.

Теперь, используя это, докажем, что ''любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя''{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}.

1. Любую рациональную дробь можно сократить на [[Наибольший общий делитель#Вариации и обобщения|наибольший общий делитель]] её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:
:<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\varphi(x)}{\psi(x)},</math>
то есть
:<math>f(x)\psi(x) = g(x)\varphi(x).</math>
то:
* из взаимной простоты <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> следует, что <math>\varphi(x)</math> делится на <math>f(x)</math>;
* из взаимной простоты <math>\varphi(x)</math> и <math>\psi(x)</math> следует, что <math>f(x)</math> делится на <math>\varphi(x)</math>.
В итоге получаем, что <math>f(x) = c\varphi(x).</math>

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:
:<math>c\varphi(x)\psi(x) = g(x)\varphi(x),</math>
или
:<math>g(x) = c\psi(x).</math>
Итак, получили, что
:<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{c\varphi(x)}{c\psi(x)}.</math>
{{Конец скрытого блока}}

=== Правильная рациональная дробь ===

Рациональная дробь '''правильная''', если [[Степень многочлена|степень]] числителя меньше степени знаменателя. Нулевой [[многочлен]] 0 является правильной дробью. ''Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби''{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}.

{{Начало скрытого блока|заголовок = Доказательство}}
Докажем последнее утверждение{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}.

1. Для любой рациональной дроби <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, поделив числитель на знаменатель, получим:
:<math>f(x) = g(x)q(x) + r(x),</math>
причём степень <math>r(x)</math> меньше степени <math>g(x).</math> Поделим обе части равенства на <math>g(x)</math>, получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:
:<math>\frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}.</math>
2. Докажем единственность этого представления. Если имеет место также следующее равенство:
:<math>\frac{f(x)}{g(x)} = q'(x) + \frac{\varphi(x)}{\psi(x)},</math>
где также степень <math>\varphi(x)</math> меньше степени <math>\psi(x)(x)</math>, то произведём вычитание:
:<math>q(x) - q'(x) = \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} - \frac{r(x)}{g(x)} = \frac{\varphi(x)g(x) - \psi(x)r(x)}{\psi(x)g(x)}.</math>

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень <math>\varphi(x)</math> меньше степени <math>\psi(x)</math>, а степень <math>r(x)</math> меньше степени <math>g(x)</math>, то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда <math>q(x) - q'(x) = 0</math> и
:<math>\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} - \frac{r(x)}{g(x)} = 0.</math>
{{Конец скрытого блока}}

=== Простейшая рациональная дробь ===
Правильная рациональная дробь <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> '''простейшая''', если её знаменатель <math>g(x)</math> представляет собой степень [[Неприводимый многочлен|неприводимого многочлена]] <math>p(x)</math>:
:<math>g(x) = p^k(x), k \geqslant 1,</math>
а степень числителя <math>f(x)</math> меньше степени <math>p(x)</math>. Существуют две теоремы{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}.
* '''Основная теорема.''' ''Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.''
* '''Теорема единственности.''' ''Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.''

=== Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей ===
{{основная статья|Разложение рациональной дроби на простейшие}}

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:
* при [[Интегрирование рациональных функций|интегрировании]]{{sfn|''Зорич В. А.'' Математический анализ. Часть I, 2019|loc=с. 292—295}};
* при разложении в [[ряд Тейлора]]{{sfn|''Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.''Функции комплексного переменного, 1971|loc=с. 50—51}};
* при разложении в [[ряд Лорана]]{{sfn|''Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.''Функции комплексного переменного, 1971|loc=с. 62—63}};
* при расчёте [[Преобразование Лапласа#Обратное преобразование Лапласа|обратного преобразования Лапласа]] рациональной дроби{{sfn|''Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.''Функции комплексного переменного, 1971|loc=с. 125}}.

{{Начало скрытого блока|заголовок = Пример}}
'''Пример.''' Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь <math>\frac{f(x)}{g(x)},</math> где{{sfn|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|loc=с. 161—165}}:
:<math>f(x) = 2x^4 - 10x^3 + 7x^2 + 4x + 3,</math>
:<math>g(x) = x^5 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 2.</math>
''Решение.'' 1. Легко проверить, что
:<math>g(x) = (x + 2)(x - 1)^2(x^2 + 1),</math>
причём <math>x + 2,</math> <math>x - 1,</math> <math>x^2 + 1</math> неприводимы.

2. Воспользуемся [[Метод неопределённых коэффициентов#Разложение дроби на простейшие|методом неопределённых коэффициентов]]. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:
:<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 1} + \frac{Dx + E}{x^2 + 1}.</math>
Осталось найти числа <math>A</math>, <math>B,</math> <math>C,</math> <math>D</math> и <math>E.</math>

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:
:<math>f(x) = 2x^4 - 10x^3 + 7x^2 + 4x + 3 =</math>
:::<math>= A(x - 1)^2(x^2 + 1) +</math>
:::<math>+ B(x + 2)(x^2 + 1) +</math>
:::<math>+ C(x + 2)(x - 1)(x^2 + 1) +</math>
:::<math>+ Dx(x + 2)(x - 1)^2 +</math>
:::<math>+ E(x + 2)(x - 1)^2.</math>
Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными <math>A</math>, <math>B,</math> <math>C,</math> <math>D</math> и <math>E,</math> приравняв коэффициенты при одинаковых степенях <math>x</math> из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве <math>x = -2,</math> получаем <math>45A = 135,</math> откуда <math>A = 3.</math> Полагая <math>x = 1,</math> получаем <math>6B = 6,</math> то есть <math>B = 1.</math> Полагая независимо <math>x = 0</math> и <math>x = -1,</math> получаем систему
:<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
-2C + 2E = -2,\\
-4C - 4D + 4E = -8.\\
\end{array}\right.</math>
Отсюда <math>D = 1.</math> Положим <math>x = 2,</math> получаем <math>20C + 4E = -52.</math> Возникает система
:<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
-2C + 2E = -2,\\
20C + 4E = -52,\\
\end{array}\right.</math>
откуда <math>C = -2,</math> <math>E = -3.</math> Таким образом,
:<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{2}{x - 1} + \frac{x - 3}{x^2 + 1}.</math>
{{Конец скрытого блока}}

== Свойства ==
* Любое выражение, которое можно получить из переменных <math>x_1,\dots,x_n</math> с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
* Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции [[Композиция функций|композиции]], а также является [[Поле (алгебра)|полем]] в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

== Правильные дроби ==
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения <math>(x-a)^k</math> (<math>a</math> — вещественный корень <math>Q(x)</math>) либо <math>(x^2+px+q)^k</math> (где <math>x^2+px+q</math> не имеет действительных корней), причём степени <math>k</math> не больше кратности соответствующих корней в многочлене <math>Q(x)</math>. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан [[Метод Остроградского|метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби]], который был предложен в 1844 году [[Остроградский, Михаил Васильевич|М. В. Остроградским]]<ref>{{публикация|автор=M. Ostrogradsky|заглавие=De l'intégration des fractions rationnelles|издание=Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg|volume=IV|год=1845|columns=145—167, 286—300|ссылка=http://www.biodiversitylibrary.org/item/173042#page/775/mode/1up|архив дата=2017-02-18|архив=https://web.archive.org/web/20170218065317/http://www.biodiversitylibrary.org/item/173042#page/775/mode/1up}}</ref>.

== См. также ==
* [[Целая рациональная функция]]
* [[Рациональное число]]
* [[Рациональное уравнение]]
* [[Наипростейшая дробь]]
* [[Египетские дроби]]
* [[Список интегралов от рациональных функций]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Долженко Е. П.'' Рациональная функция, 1984|3=
''Долженко Е. П.'' Рациональная функция // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
}}
* {{h|''Дробно-рациональная функция'', 1979|3=
''Дробно-рациональная функция'' // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 387.
}}
* {{h|''Зорич В. А.'' Математический анализ. Часть I, 2019|3=
''[[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]'' Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).
}}
* {{h|''Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.''Функции комплексного переменного, 1971|3=
''Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.'' Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
}}
* {{h|''Курош А. Г.'' Курс высшей алгебры, 2021|3=
''[[Курош, Александр Геннадиевич|Курош А. Г.]]'' Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
}}
* {{h|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|3=
''[[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]'' Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
}}
* {{h|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|3=
''[[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]]'' Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Жуковского функция, 1979|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Жуковского функция // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 426.
}}
{{ВС}}
[[Категория:Типы функций]]
[[Категория:Элементарные функции]]
[[Категория:Дроби]]

Рациональная функция - История изменений

imported>Matsievsky: /* Преамбула */