imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:38:37Z

Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

'''Рангом''' системы строк (столбцов) [[Матрица (математика)|матрицы]] <math>A</math> с <math>m</math> строками и <math>n</math> столбцами называется максимальное число [[линейная независимость|линейно независимых]] строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков всевозможных ненулевых [[Минор (линейная алгебра)|миноров]] этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера равен нулю. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.

Ранг матрицы — размерность образа <math>\dim (\operatorname{im} (A))</math> [[линейный оператор|линейного оператора]], которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы <math>A</math> обозначается <math>\operatorname{rang}A</math>, <math>\operatorname{r}A</math>, <math>\operatorname{rg}A</math>, <math>\operatorname{rk}A</math> или <math>\operatorname{rank}A</math>. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первые два — для немецкого, французского и ряда других языков.

== Определение ==
Пусть <math>A_{m\times n}</math> — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы <math>A</math> является:
* ноль, если <math>A</math> — [[нулевая матрица]];
* число <math>r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0</math>, где <math>M_r</math> — [[Минор (линейная алгебра)|минор]] матрицы <math>A</math> порядка <math>r</math>, а <math>M_{r+1}</math> — [[окаймляющий]] к нему минор порядка <math>(r+1)</math>, если они существуют.

{{рамка}}
'''Теорема (о корректности определения рангов).''' Пусть все миноры матрицы <math>A_{m\times n}</math> порядка <math>k</math> равны нулю (<math>M_k=0</math>). Тогда <math>\forall M_{k+1}=0</math>, если они существуют.
{{конец рамки}}

== Связанные определения ==
* Ранг матрицы <math>A</math> размера <math>m \times n</math> называют '''полным''', если <math>\operatorname{rang}A = \min\{m, n\}</math>.
* '''Базисный минор''' матрицы <math>A</math> — любой ненулевой [[минор (линейная алгебра)|минор]] матрицы <math>A</math> порядка <math>r</math>, где <math>r=\operatorname{rang}A</math>.
** Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются '''''базисными строками и столбцами'''''. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

== Свойства ==
'''Теорема (о базисном миноре):''' Пусть <math>r=\operatorname{rang}A,
M_r</math> — базисный минор матрицы <math>A</math>, тогда:
* базисные строки и базисные столбцы [[линейная независимость|линейно независимы]];
* любая строка (столбец) матрицы <math>A</math> есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

'''Следствия:'''
* Если ранг матрицы равен <math>r</math>, то любые <math>p\colon p>r</math> строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
* Если <math>A</math> — квадратная матрица, и <math>\det A=0</math>, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
* Пусть <math>r=\operatorname{rang}A</math>, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно <math>r</math>.

'''Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях):''' Введём обозначение <math>A\sim B</math> для матриц, полученных друг из друга [[элементарные преобразования матрицы|элементарными преобразованиями]]. Тогда справедливо утверждение: Если <math>A\sim B</math>, то их ранги равны.

'''[[Теорема Кронекера — Капелли]]:''' Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
* Количество главных переменных системы равно рангу системы.
* Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Ранг {{mvar|A}} равен {{mvar|r}} тогда и только тогда, когда существует обратимые матрицы размерности {{math|''m'' × ''m''}} ({{mvar|X}}) и {{math|''n'' × ''n''}} ({{mvar|Y}}) такие, что
: <math> XAY =
\begin{bmatrix}
I_r & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix},</math> где {{math|''I''<sub>''r''</sub>}} обозначает [[Единичная матрица|единичную матрицу]] размерности {{math|''r'' × ''r''}} .

Если {{mvar|B}} - любая матрица размерности {{math|''n'' × ''k''}}, то
: <math> \operatorname{rang}(AB) \leq \min(\operatorname{rang}(A), \operatorname{rang}(B)). </math>

Если {{mvar|B}} - матрица размерности {{math|''n'' × ''k''}} ранга {{mvar|n}}, то
: <math>\operatorname{rang}(AB) = \operatorname{rang}(A).</math>

Если {{mvar|C}} - матрица размерности {{math|''l'' × ''m''}} ранга {{mvar|m}}, то
: <math>\operatorname{rang}(CA) = \operatorname{rang}(A).</math>

'''[[Неравенство Сильвестра]]:''' Если ''A'' и ''B'' матрицы размеров <math>m \times n</math> и <math>n \times k</math>, то
: <math> \operatorname{rang} AB \geq \operatorname{rang} A + \operatorname{rang} B - n </math>
Это частный случай следующего неравенства.

'''[[Неравенство Фробениуса]]:''' Если AB, BC, ABC корректно определены, то
: <math> \operatorname{rang} ABC \geq \operatorname{rang} AB + \operatorname{rang} BC - \operatorname{rang} B </math>

'''Субаддитивность''':
: <math>\operatorname{rang}(A+ B) \le \operatorname{rang}(A) + \operatorname{rang}(B) </math>,
когда {{mvar|A}} и {{mvar|B}} имеют одинаковые размерности.

'''Следствие.'''
* Любая матрица с рангом {{mvar|k}} может быть записана в виде суммы {{mvar|k}} матриц с рангом 1, но не меньше.

Сумма ранга и [[Ядро (линейная алгебра)|дефекта]] матрицы равно числу ее столбцов. (Это - [[теорема о ранге и дефекте]].)

== Линейное преобразование и ранг матрицы ==
Пусть <math>A</math> — матрица размера <math>m \times n</math> над полем <math>C</math> (или <math>R</math>). Пусть <math>T</math> — линейное преобразование, соответствующее <math>A</math> в стандартном базисе; это значит, что <math>T(x)=Ax</math>. ''Ранг матрицы'' '''''<math>A</math>''''' — это размерность образа преобразования <math>T</math>.

== Методы ==
Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

'''Метод элементарных преобразований'''. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

'''Метод окаймляющих миноров'''. Пусть в матрице <math>A</math> найден ненулевой минор <math>k</math>-го порядка <math>M</math>. Рассмотрим все миноры <math>(k+1)</math>-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор <math>M</math>; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен <math>k</math>. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

== Литература ==
* {{Cite web |url=https://books.google.com/books?id=P_DGBgAAQBAJ |title=Курс алгебры |author=[[Эрнест Винберг]] |date=2017-09-05 |lang=ru |accessdate=2018-08-24}}

{{rq|
{{переработать|дата=2010-03-12}}
{{нет источников|дата=2010-03-12}}
}}

[[Категория:Матричные инварианты]]

Ранг матрицы - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО