imported>Cherkash: /* Сходимость */

2025-09-17T12:28:18Z

Сходимость

Новая страница

'''Разностная схема''' — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей [[дифференциальное уравнение]] и дополнительные условия (например, [[Начальные и граничные условия|краевые условия и/или начальное распределение]]). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие [[дифференциальное уравнение|дифференциальному уравнению]], получаются применением [[Метод конечных разностей|разностного метода]], что отличает теорию разностных схем от других [[Вычислительная математика|численных методов]] решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как [[метод Галёркина]]).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.

== Свойства разностных схем ==
Введем следующие обозначения:
:<math>u(t)</math> - точное решение дифференциального уравнения.
:<math>u_h(t)</math> - точное решение разностной схемы
:<math>\tilde u_h(t)</math> - численное решение разностной схемы (с округлениями)
Тогда задача имеет следующую характеристику:
:<math>\|u(t+\Delta t)-u(t)\|</math> - отвечает за '''[[Число обусловленности|обусловленность]]''' задачи (conditioning)
:(Аналогом обусловленности для дифференциальных уравнений является устойчивость в смысле [[Динамическая система|динамических систем]], часто используется [[Устойчивость (динамические системы)|устойчивость по Ляпунову]])
а численное решение имеет следующие характеристики:
:<math>\|u_h(t)-u(t)\|</math> - отвечает за '''аппроксимацию''' разностной схемой задачи ([[:en:Numerical_methods_for_ordinary_differential_equations#Consistency_and_order|consistency]], [[:de:Konsistenz_(Numerik)]])
:<math>\|\tilde u_h(t)-u_h(t)\|</math> - отвечает за '''[[вычислительная устойчивость|устойчивость]]''' разностной схемы при численном решении (stability)
:<math>\|\tilde u_h(t)-u(t)\|</math> - отвечает за '''сходимость''' численного решения (к точному решению) (convergence)

=== [[Аппроксимация]] ===
Говорят, что дифференциальный оператор <math>L(u)</math>, определённый на функциях <math>u</math>, заданных в области <math>D \subset \mathbb{R}^N</math>, аппроксимируется на некотором классе функций <math>u \in U</math> конечно-разностным оператором <math>R_h(u_h)</math>, определённым на функциях <math>u_h</math>, заданных на сетке, зависящей от шага <math>h</math>, если выполняется условие сходимости
:<math>
|| L(u) - R_h(u_h) || \to 0, \ \ h \to 0 \ \ \ (\forall u \in U).
</math>
Говорят, что аппроксимация имеет порядок точности <math>k</math>, если
:<math>
|| L(u) - R_h(u_h) || \le h^k M, \ \ h \to 0 \ \ \ (\forall u \in U),
</math>
где <math>M</math> — константа, зависящая от конкретной функции <math>u \in U</math>, но не зависящая от шага <math>h</math>. [[Нормирование|Норма]], использованная выше, может быть различной, и понятие аппроксимации зависит от её выбора. Часто используется дискретный аналог нормы [[Равномерная непрерывность|равномерной непрерывности]]:
:<math>||u_h|| = \max_{n} |u_h(x_n)|,</math>
иногда используются дискретные аналоги [[Lp (пространство)|интегральных норм]]<ref name="ReferenceA">Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М., Гостехиздат, 1956.</ref><ref>Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962.</ref>.

'''Пример'''. Аппроксимация оператора <math>L(u)=u_{xx}</math> конечно-разностным оператором
:<math>
R_h(u_h)(x_i) = \frac{u_{i+1} -2u_{i} + u_{i-1}}{h^2},
\quad u_{i} = u(x_{i}), \quad x_{i+1}=x_{i}+h,
</math>
на ограниченном интервале <math>D \subset \mathbb{R}</math> имеет второй порядок точности на классе [[Гладкая функция|гладких функций]] <math>U=C^4(D)</math>.
{{Hider|
title = Доказательство|
hidden = 1|
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
С помощью [[Ряд Тейлора|формулы Тейлора]]
:<math>
u_{n \pm 1} = u_n \pm h u_x(x_n) + \frac{h^2}{2} u_{xx}(x_n) \pm
\frac{h^3}{3!} u_{xxx}(x_n) + \frac{h^4}{4!} u_{xxxx}(x_n+\xi_{\pm}),
\quad \xi_{\pm} \in (0, \pm h),
</math>
получается оценка:
:<math>
\bigl|u_{xx}(x_n) - R_h(u_h)(x_n) \bigr| =
\frac{1}{h^2} \, \bigl| u_{n+1} - 2u_{n} + u_{n-1} - h^2 u_{xx}(x_n)\bigr| =
\frac{h^2}{4!} \, \Bigl|u_{xxxx}(x_n+\xi_{+}) + u_{xxxx}(x_n+\xi_{-}) \Bigr| \le \frac{h^2}{4!} \, C,
</math>
где константа
:<math>
C = 2\sup\limits_{x \in D} |u_{xxxx}(x)| < \infty.
</math>
}}

Конечно-разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу, и аппроксимация имеет порядок точности <math>k</math>, если и само дифференциальное уравнение, и граничные (и начальные) условия аппроксимируются соответствующими конечно-разностными операторами с порядком точности не ниже <math>k</math>.

'''Пример'''. Аппроксимация [[Уравнение диффузии|уравнения теплопроводности]] <math>u_{t}-u_{xx}=0</math> (разностная схема в частных производных) конечно-разностным уравнением
<math>R_h(u_h) = 0</math>, где
:<math>
R_h(u_h)(t_m,x_n) = \frac{u_n^{m+1} - u_n^{m}}{\Delta t} - \frac{u_{n+1}^m -2u_{n}^m + u_{n-1}^m}{h^2},
</math>
:<math>
u^i_j = u(t_i,x_j), \quad t_{i+1}=t_{i}+\Delta t, \quad x_{j+1}=x_{j}+h, \quad \Delta t = \sigma h^2,
\quad \sigma = const > 0,
</math>
имеет второй порядок точности по координате и первый порядок точности по времени на классе <math>C^4</math>-гладких функций.

=== [[Вычислительная устойчивость|Устойчивость]] ===
Условий аппроксимации недостаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался к точному ответу при ''h→0''. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно представить как некоторый [[линейный оператор]], который преобразует значения функции в момент ''t'' в значения функции в момент ''t+h''. Условие устойчивости требует, чтобы [[Собственные векторы, значения и пространства|собственные числа]] (вообще говоря [[Комплексное число|комплексные]]) этого оператора не превосходили по [[Абсолютная величина|модулю]] ''1+ch'', где ''с>0'' — некоторая [[Постоянная|константа]], при ''h→0''. Если это условие не выполнено, то погрешности схемы быстро возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг.

=== Сходимость ===
Под сходимостью численного решения понимают его сходимость к точному решению при уменьшении шага сетки h.
:<math> \lim_{h\to0+} \| \tilde y_h(t) - y(t_n) \| = 0. </math> (В смысле сеточной нормы)
Если выполнены как условие аппроксимации, так и условие устойчивости, то результат разностной схемы сходится к решению дифференциального уравнения ('''теорема Филиппова — Рябенького''')<ref name="ReferenceA"/><ref>Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986.</ref>.
В зарубежной литературе эта теорема получила называние "[[:en:Lax equivalence theorem|теорема об эквивалентности Лакса (en)]]".

=== Условие Куранта ===
Условие Куранта, или [[критерий Куранта — Фридрихса — Леви]] (CFL) — скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностной схемы может не стремиться к решению дифференциального уравнения. Другими словами, за один шаг по времени частица не должна «пробегать» более одной ячейки.

В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.

Для [[Гиперболические уравнения|гиперболических]] систем уравнений это условие часто имеет вид

<math>\tau \le \min\left(\frac{h}{|\lambda|_{max}}\right)</math>

(<math>\tau</math> — шаг по времени, <math>h</math> — шаг пространственной сетки, <math>|\lambda|_{max}</math> — максимальное по модулю собственное значение в точке. Минимум берется по всем точкам сетки.)

== Классификация схем ==

=== Явные схемы ===
Явные схемы вычисляют значение сеточной функции через данные соседних точек. Пример явной схемы для дифференцирования: <math>f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}</math> (2-й порядок аппроксимации). Явные схемы часто оказываются неустойчивыми.

Согласно [[Теорема Годунова|теореме Годунова]] среди линейных разностных схем для уравнения переноса с порядком аппроксимации выше первого нет монотонных.

=== Неявные схемы ===
Неявные схемы используют уравнения, которые выражают данные через несколько соседних точек результата. Для нахождения результата решается система линейных уравнений. Пример неявной схемы для уравнения струны: <math>f(x,t+h)-2f(x,t)+f(x,t-h)=f(x+h,t+h)-2f(x,t+h)+f(x-h,t+h)</math>. Неявные схемы обычно являются устойчивыми.

=== Полунеявные схемы ===
На одних шагах применяется явная схема, на других — неявная (как правило, эти шаги чередуются). <br /> Пример — Схема Кранка-Никольсо́на, когда решение берется в виде среднего от явной и неявной схемы решения для повышения точности

=== Компактные схемы ===
Компактные схемы используют уравнения, которые связывают значения результата в нескольких соседних точках с значениями данных в нескольких соседних точках. Это позволяет повысить порядок аппроксимации. Пример компактной схемы для дифференцирования: <math>\frac{1}{6}f'(x-h)+\frac{2}{3}f'(x)+\frac{1}{6}f'(x+h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}</math> (4-й порядок аппроксимации).

=== Консервативные схемы ===
Когда разностная схема удовлетворяет тем же интегральным соотношениям (например, сохранению энергии, энтропии), что и первоначальное дифференциальное уравнение, то говорят о свойстве консервативности. Консервативные схемы обычно представляются в дивергентном виде.

Примеры консервативных схем гидродинамики — [[Схема Самарского|схема]] [[Самарский, Александр Андреевич|Самарского]], [[метод крупных частиц]] [[Белоцерковский, Олег Михайлович|Белоцерковского]].

=== Схемы на смещенных сетках ===
В этих схемах сетки, на которых задан результат, и данные смещены относительно друг друга. Например, точки результата находятся посередине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.

== См. также ==
* [[Метод конечных разностей]]
* [[Метод конечных разностей во временной области]]
* [[Численное интегрирование]]

== Ссылки ==
* [[b:Методы решения систем гиперболических уравнений/Разностные схемы|«Разностные схемы»]] — Глава в [[wikibooks]] на тему «Разностные схемы для гиперболических уравнений»
* ''Демьянов А. Ю., Чижиков Д. В.'' [https://web.archive.org/web/20090122211348/http://www.dchizhikov.boom.ru/works.htm Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности]
* {{книга|автор = [[Рябенький, Виктор Соломонович|Рябенький В. С.]], Филиппов А. Ф.|заглавие =Об устойчивости разностных уравнений |ссылка = |место = М.|издательство = Гостехиздат |год = 1956}}
* {{книга|автор = [[Годунов, Сергей Константинович|Годунов С. К.]], Рябенький В. С.|заглавие =Введение в теорию разностных схем |ссылка = |место = М.|издательство = Физматгиз |год = 1962}}
* {{книга|автор = [[Бабенко, Константин Иванович|Бабенко К. И.]]|заглавие =Основы численного анализа |место = М.|издательство =Наука |год = 1986}}
* ''[[Березин, Иван Семёнович|Березин И. С.]], [[Жидков, Николай Петрович|Жидков Н. П.]]'' Методы вычислений, — Любое издание.
* ''[[Бахвалов, Николай Сергеевич|Бахвалов Н. С.]], Жидков Н. П., [[Кобельков, Георгий Михайлович|Кобельков Г. М.]]'' Численные методы, — Любое издание.
* {{книга|автор = [[Марчук, Гурий Иванович|Марчук Г. И.]]|заглавие =Методы вычислительной математики |место = М.|издательство =Наука |год = 1977}}
* {{книга|автор = Шишкин Г. И.|заглавие =Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений |место = Екатеринбург|издательство =УрО РАН |год = 1992|ISBN = 5-7691-0159-8}}

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Метод конечных разностей}}

[[Категория:Численные методы дифференциальных уравнений]]

Разностная схема - История изменений

imported>Cherkash: /* Сходимость */