89.113.157.127: исправление

2024-02-26T06:11:33Z

исправление

Новая страница

'''Разбиение единицы''' — конструкция, используемая в [[топология|топологии]] для удобства работы с [[многообразие]]м как с множеством [[карта (математика)|карт]].

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от [[дифференциальная форма|дифференциальной формы]] на многообразии.

== Конструкция ==
Пусть дано [[открытое покрытие]] топологического пространства <math>M</math> открытыми множествами <math>D_\alpha</math>.
Разбиением единицы, подчиненным покрытию <math>\{ D_\alpha\}</math>, называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций <math>f_\beta</math> на <math>M</math>, обладающих следующими свойствами:
* <math>0\leqslant f_\beta\leqslant 1.</math>
* [[Носитель функции|Носитель]] каждой из функций <math>f_\beta</math> целиком содержится в одном из множеств <math>D_\alpha</math>.
* Для любой точки <math>x\in M</math> имеем <math>\sum_{\beta}{f_{\beta}(x)=1}</math> (то есть при любом <math>x\in M</math> для не более, чем [[Счётное множество|счётного]] множества функций <math>f_\beta(x)</math> отлично от нуля и ряд <math>\sum_{i=1}^{\infty}{f_{\beta_i}(x)}</math>, где <math> \{ \beta_1, \beta_2, ...\}=\{\beta:f_{\beta}(x)\neq 0\}</math> сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).
Если для любой точки <math>x\in M</math> существует окрестность <math>W\ni x</math>, такая что пересечение <math>W\cap\mathrm{supp}\,f_\beta</math> непусто не более чем для конечного числа индексов <math>\beta</math>, то такое разбиение единицы называется ''локально конечным''.

== Свойства ==
* Для всякого открытого [[Покрытие (математика)|покрытия]] [[Паракомпактное пространство|паракомпактного]] [[аксиомы отделимости|{{math|''T''<sub>1</sub>-}}пространства]] существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия <math>T_1</math>-пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
* Для всякого открытого покрытия [[Гладкое многообразие|<math>C^\infty</math>-многообразия]], существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из [[Гладкая функция|функций класса <math>C^\infty</math>.]]

== Литература ==
{{книга
|автор = Энгелькинг Р.
|заглавие = Общая топология |ответственный=перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского |место = М|издательство = Мир|год =1986 |страниц=752
}}

{{книга
|автор = Ж. де Рам
|заглавие = Дифференцируемые многообразия |ответственный=перевод Д.А.Василькова |место = М|издательство = иностранной литературы|год =1956 |страниц=250
}}
{{topology-stub}}

[[Категория:Топология]]
[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]

Разбиение единицы - История изменений

89.113.157.127: исправление