imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)

2025-07-16T10:11:33Z

замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)

Новая страница

'''Пфаффианом''' [[кососимметричная матрица|кососимметричной матрицы]] называется некоторый [[многочлен]] от её элементов, квадрат которого равен [[Определитель|определителю]] этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера <math>2n\times 2n</math>, и в этом случае его степень равна ''n''.

== Примеры ==
: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.</math>

: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>

: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.</math>

== Определение ==

Пусть <math>\Pi</math> обозначает множество всех [[разбиение множества|разбиений множества]] <math>\{1, 2,\dots, 2n\}</math> на неупорядоченные пары (всего существует <math>(2n-1)!!</math> таких разбиений). Разбиение <math>\alpha\in \Pi</math> может быть записано

: <math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}</math>

где <math>i_k<j_k</math> и <math>i_1 < i_2 < \cdots < i_n</math>. Пусть

: <math>\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}</math>

обозначает соответствующую [[перестановка|перестановку]], а <math>\mbox{sgn}(\alpha)</math> — [[знак перестановки]] <math>\pi</math>.
Нетрудно видеть, что <math>\mbox{sgn}(\alpha)</math> не зависит от выбора <math>\pi</math>.

Пусть <math>A = \{a_{ij}\}</math> обозначает <math>2n\times 2n</math> кососимметричную матрицу. Для разбиения <math>\alpha</math> определим

: <math> A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.</math>

Теперь можно определить пфаффиан матрицы ''A'' как

: <math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.</math>

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера <math>n\times n</math> для нечётного ''n'' равен нулю по определению.

=== Рекурсивное определение ===
Пфаффиан матрицы размера <math>0\times 0</math> полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы ''A'' размера <math>2n\times 2n</math> при <math>n > 0</math> может быть определён рекурсивно следующим образом:

; <math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{{j=1}\atop{j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta(i-j)}a_{ij}\operatorname{Pf}(A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}),</math>

где индекс <math>i</math> может быть выбран произвольно, <math>\theta(i-j)</math> — [[функция Хевисайда]], <math>A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}</math> обозначает матрицу ''A'' без ''i''-той и ''j''-той колонки и строки.

=== Альтернативное определение ===

Для <math>2n\times 2n</math> кососимметричной матрицы <math>A = \{a_{ij}\}</math> рассмотрим [[бивектор]]:

: <math>\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.</math>

где <math>\{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\}</math> есть стандартный базис в <math>\mathbb R^{2n}</math>. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

: <math>\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},</math>

где <math>\omega^{\wedge n}</math> обозначает [[внешнее произведение]] ''n'' копий <math>\omega</math>.

== Свойства ==
Для <math>2n\times 2n</math> кососимметричной матрицы <math>A</math> и для произвольной <math>2n\times 2n</math> матрицы <math>B</math>:

* <math>\mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)</math>

* Для блок-диагональной матрицы

:: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).</math>

* Для произвольной <math>n\times n</math> матрицы <math>M</math>:
:: <math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} =
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>

== История ==

Термин «пфаффиан» был введён [[Кэли, Артур|Кэли]]<ref>{{Cite web |url=http://jeff560.tripod.com/mathword.html |title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics |access-date=2009-11-29 |archive-date=2009-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090304032905/http://jeff560.tripod.com/mathword.html |url-status=live }}</ref> и назван в честь немецкого математика [[Пфафф, Иоганн Фридрих|Иоганна Фридриха Пфаффа]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья |автор=Вялый М. Н. |заглавие=Пфаффианы для задач перечисления |издание=Летняя школа «Современная математика» |год=2004 |ссылка=http://www.mccme.ru/dubna/2004/material.htm}}
* {{статья |автор=Вялый М. Н. |заглавие=Пфаффианы или искусство расставлять знаки… |издание=[[Математическое Просвещение]] |номер=9 |год=2005 |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/matprosa.html}}

[[Категория:Матричные инварианты]]
[[Категория:Многочлены]]

Пфаффиан - История изменений

imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)