imported>TextworkerBot: +шаблон: некорректные викиссылки в сносках

2025-09-16T14:00:21Z

+шаблон: некорректные викиссылки в сносках

Новая страница

'''Прямое произведение''' (''дека́ртово произведение'') — [[множество]], [[Элемент множества|элементами]] которого являются все возможные [[упорядоченная пара|упорядоченные пары]] элементов заданных двух непустых исходных множеств.
Предполагается, что впервые «декартово» (в честь [[Декарт, Рене|Рене Декарта]]) произведение двух множеств ввёл [[Кантор, Георг|Георг Кантор]]{{sfn|Бурбаки|2013|с=307}}{{sfn|Cantor|1932|с=286—287}}.

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой ([[алгебра]]ической, [[топология|топологической]] и так далее), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

== Прямое произведение в теории множеств ==

=== Произведение двух множеств ===
{| class="wikitable" cellpadding="6" align="right"
!<math>\times</math>|
| bgcolor="7109AA" |
| bgcolor="1240AB" |
| bgcolor="00BFFF" |
| bgcolor="00CC00" |
| bgcolor="FFFF00" |
| bgcolor="FFAA00" |
| bgcolor="FF0000" |
|-
!в
|в
|в
|в
|в
|в
|в
|в
|-
!и
|и
|и
|и
|и
|и
|и
|и
|-
!к
|к
|к
|к
|к
|к
|к
|к
|-
! colspan="9" |Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги
|}
Прямое произведение множества <math>X</math> и множества <math>Y</math> — такое множество <math>X \times Y</math>, элементами которого являются упорядоченные пары <math>(x,y)</math> для всевозможных <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>. Упорядоченную пару, образованную из элементов <math>a</math> и <math>b</math>, принято записывать, используя круглые скобки: <math>(a,b)</math>. Элемент <math>a</math> называют ''первой координатой (компонентой) пары'', а элемент <math>b</math> — ''второй координатой (компонентой) пары''.

Прямое произведение двух множеств наглядно можно представить в виде таблицы, строки которой определяют элементы первого множества, а столбцы, соответственно, второго. Все клетки данной таблицы в таком случае будут элементами декартова произведения.

Слово «упорядоченная» значит, что для <math>x\ne y</math>, <math>(x,y) \neq (y,x) </math>. Так, пары <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> равны в том и только том случае, если <math>a=c</math> и <math>b=d</math>.

[[отображение|Отображения]] произведения множеств в его множители — <math>\varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x</math> и <math>\psi\colon X\times Y\to Y,\; \psi(x,y)=y</math> — называют ''координатными функциями''.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

Строго говоря, тождество ассоциативности <math>A \times (B \times C) = (A \times B) \times C</math> не имеет места, но в силу существования естественного [[Взаимно однозначное соответствие|взаимно однозначного соответствия]] (биекции) между множествами <math>A \times (B \times C)</math> и <math>(A \times B) \times C</math> этим различием можно зачастую пренебречь.

=== Декартова степень ===
{| class="wikitable" align=right
|000||001||002||010||011||012||020||021||022
|-
|100||101||102||110||111||112||120||121||122
|-
|200||201||202||210||211||212||220||221||222
|-
! colspan=9 |{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов
|}
<math>n</math>-я декартова степень [[множество|множества]] <math>X</math> определяется для [[Целое число|целых]] неотрицательных <math>n</math>, как <math>n</math>-кратное декартово произведение <math>X</math> на себя{{sfn|Бурбаки|2013|с=115}} {{sfn|Эдельман|с=10|1975}}:
: <math>
\begin{matrix}
\underbrace{X\times X\times \ldots \times X}.
\\
n
\end{matrix}
</math>
Обычно обозначается как <math>X^n</math> или <math>X^{\times n}</math>.

При положительных <math>n</math> декартова степень <math>X^n</math> состоит из всех [[Кортеж (математика)|упорядоченных наборов]] элементов из <math>X</math> длины <math>n</math>.
Так, [[евклидово пространство|вещественное пространство]] <math>\R^3</math> — множество [[Кортеж (математика)|кортежей]] из трёх [[вещественное число|вещественных чисел]] — есть 3-я степень множества [[вещественное число|вещественных чисел]] <math>\R</math>.

При <math>n=0</math> декартова степень <math>X^0</math> по определению содержит единственный элемент — пустой кортеж.

=== Прямое произведение семейства множеств ===
В общем случае, для произвольного семейства [[множество|множеств]] (не обязательно различных) <math>\{X_i\}_{i\in I}</math> ([[множество индексов]] может быть [[бесконечное множество|бесконечным]]) прямое произведение <math>X = \prod_{i\in I} X_i</math> определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу <math>i\in I</math> элемент множества <math>X_i</math>:
: <math>
X = \prod_{i\in I} X_i = \{f\colon I \to \bigcup\limits_{i\in I} X_i \mid f(i) \in X_i, i \in I \}
</math>.
[[отображение|Отображения]] <math>\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)</math> называются ''[[Проекция (геометрия)|проекциями]]'', и определяются следующим образом: <math>\pi_i\colon (a_1,\dots a_n) \mapsto a_i</math>.

В частности, для конечного семейства [[множество|множеств]] <math>\{A_1, \dots ,A_n\}</math> любая функция <math> f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i </math> с условием <math>f(i) \in A_i</math> эквивалентна некоторому [[Кортеж (математика)|кортежу]] длины <math>n</math>, составленному из элементов множеств <math>\{A_i\}_{i = 1}^n</math>, так, что на <math>i</math>-ом месте кортежа стоит элемент множества <math>A_i</math>. Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств <math>\{A_i\}_{i = 1}^n</math> может быть записано так:
: <math>
A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\}
</math>

== Прямое произведение отображений ==
Пусть <math>f</math> — отображение из <math>A</math> в <math>B</math>, а <math>g</math> — отображение из <math>X</math> в <math>Y</math>. Их прямым произведением <math>f\times g</math> называется отображение из <math>A\times X</math> в <math>B\times Y</math>: <math>(f\times g)(a,\; x) = (f(a),\; g(x))</math>.

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

== В математических структурах ==

=== Прямое произведение групп ===
{{Основная статья|Прямое произведение групп}}
Прямое (декартово) произведение двух групп <math>(G,*)</math> и <math>(H,\circ)</math> — это группа из всех пар элементов <math>(g,h)</math> с операцией покомпонентного умножения: <math>(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)</math>. Эта группа обозначается как <math>G\times H</math>. Ассоциативность операции умножения в группе <math>G\times H</math> следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители <math>G</math> и <math>H</math> [[изоморфизм (математика)|изоморфны]] двум [[нормальная подгруппа|нормальным подгруппам]] своего произведения, <math>\{(g,1_H)\mid g\in G\}</math> и <math>\{(1_G,h)\mid h\in H\}</math> соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента <math>(1_G,1_H)</math>, который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются [[гомоморфизм]]ами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, <math>\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}</math>, где <math>f(i)\isin G_i</math> и <math>(f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)</math>. (Операция в правой части — это операция группы <math>G_i</math>). Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: <math>(1_i),\; i\in I</math>. Например, для счётного числа групп: <math>\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor})</math>, где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех <math>f</math>, носитель которых (то есть множество <math>\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}</math>) [[конечное множество|конечен]], называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств <math>\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor})</math> содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как [[двоичная система счисления|двоичные]] представления натуральных чисел.

Декартово произведение индексированной системы групп есть её прямое произведение в категории Grp.

Прямая сумма индексированной системы групп есть её копроизведение в категории Grp.

=== Прямое произведение алгебраических систем ===
Аналогично произведению групп определяются [[Кольцо (математика)#Прямое произведение|произведения колец]], [[алгебра над кольцом|алгебр]], [[модуль над кольцом|модулей]] и [[линейное пространство|линейных пространств]], и, вообще говоря, алгебраических систем с одинаковой сигнатурой — все операции и отношения покоординатно определяются на прямом произведении носителей ([[прямое произведение алгебраических систем]]).

=== Прямое произведение векторных пространств ===
Декартово произведение <math>U \times V</math> двух [[Векторное пространство|векторных пространств]] <math>U</math> и <math>V</math> над общим полем <math>F</math> — это множество упорядоченных пар векторов <math>\left\{\left(u,v\right)\mid u\in U\wedge v\in V\right\}</math>, то есть теоретико-множественное декартово произведение множеств векторов из <math>U</math> и <math>V</math>, с линейностью, заданной покоординатно: <math>\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right)</math>, <math>\mathrm{\alpha}\left(a,b\right)=\left(\mathrm{\alpha}a,\mathrm{\alpha}b\right)</math>.

Определение распространяется на любую индексированную систему линейных (векторных) пространств: декартовым произведением индексированной системы векторных пространств над общим полем является теоретико-множественное декартово произведение множеств векторов сомножителей, на котором задана покоординатная линейность, то есть при суммировании суммируются все проекции, при умножении на число все проекции умножаются на это число: <math>c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_i=a_i+b_i</math>, <math>b=\mathrm{\alpha}a\leftrightarrow \forall i:b_i=\mathrm{\alpha}a_i</math>.

Декартово произведение индексированной системы линейных пространств есть её прямое произведение в категории <math>\operatorname{Vec}_F</math>, где <math>F</math> есть подлежащее поле системы.

[[Прямая сумма векторных пространств]] — такое подмножество их декартова произведения, элементы которого имеют лишь конечное число отличных от нуля проекций
<math>\bigoplus{A}=\left\{a\in\prod{A}\mid\left\vert\left\{i\in\operatorname{dom}A\mid a_i\ne 0\right\}\right\vert<\aleph_0\right\}</math>, где <math>\operatorname{dom}A</math> есть индексное множество индексированной системы <math>A</math>.
Для конечного числа слагаемых прямая сумма не отличается от декартова произведения.

Прямая сумма индексированной системы линейных пространств есть её копроизведение в категории <math>\operatorname{Vec}_F</math>, где <math>F</math> есть подлежащее поле системы.

=== Прямое произведение топологических пространств ===
{{main|Произведение топологических пространств}}
Топология декартова произведения на теоретико-множественном («бесструктурном») произведении <math>X\times Y</math> [[топологическое пространство|топологических пространств]] задаётся [[топологическое пространство#Способы задания топологии|базой]], состоящей из всевозможных произведений <math>U\times V</math>, где <math>U</math> — [[открытое подмножество]] <math>X</math> и <math>V</math> — открытое подмножество <math>Y</math>.

Определение естественным образом обобщается на случай произведения конечного числа пространств.

Для произведения бесконечного набора сомножителей определение усложняется: для индексированной системы топологических пространств <math>X</math> есть и бесструктурного произведения элементов <math>B=\prod{\overline X}</math>, вводится цилиндр, восставленный над <math>U\subseteq X_i</math> как множество всех точек из <math>B</math>, чьи <math>i</math>-е проекции лежат в <math>U</math>, то есть <math>\operatorname{Cyl}\left(i,\;U\right) = \left\{x\in B\mid x_i\in U\right\}</math>, где <math>i\in\operatorname{dom}X</math> и <math>\operatorname{dom}X</math> есть индексное множество индексированной системы <math>X</math>. Топология произведения будет задана на [[База топологии#Вариации и обобщения|предбазе]] из цилиндров, восставленных надо всеми открытыми множествами всех топологий из набора <math>X</math>: <math>\left\{\operatorname{Cyl}\left(i,\;U\right)\mid i\in\operatorname{dom}X\and U\in\operatorname{T}\left(X_i\right)\right\}</math>, где <math>\operatorname{T}\left(X_i\right)</math> есть совокупность всех отрытых множеств (топология) пространства <math>X_i</math>, то есть задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров. Данная топология является «контрвариантно» наведённой проекторами — это минимальная топология на теоретико‑множественном декартовом произведении, при которой все проекторы непрерывны (такая топология аналогична [[компактно-открытая топология|компактно-открытой топологии]] пространств отображений, если считать [[индексное множество]] <math>I</math> имеющим дискретную топологию).

Декартово произведение индексированной системы топологических пространств есть её прямое произведение в категории <math>\operatorname{Top}</math>.

Прямая сумма топологий строится на бесструктурной прямой сумме пространств, как множеств точек. Открытыми в ней являются все множества, пересечения которых со всеми слагаемыми открыты. Данная топология является «ковариантно» наведённой копроекторами — это максимальная топология на теоретико‑множественной прямой сумме, при которой все копроекторы (то есть вложения слагаемых в сумму) непрерывны.

Прямая сумма индексированной системы топологических пространств есть её копроизведение в категории <math>\operatorname{Top}</math>.

[[Теорема Тихонова]] утверждает [[компактное пространство|компактность]] произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования [[аксиома выбора|аксиомы выбора]] (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также [[теорема Александрова (общая топология)|теорема Александрова]] показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение [[связное двоеточие|связных двоеточий]], если только выполнена [[Аксиомы отделимости#Нулевая аксиома отделимости (аксиома Колмогорова)|аксиома Колмогорова]].

=== Прямое произведение графов ===
{{Основная статья|Прямое произведение графов}}
{| cellpadding=1 align=right
| 
| bgcolor="#99FFFF" |—
| bgcolor="#99FFFF" |
|-
| bgcolor="#99FFFF" |
|—
|
|-
| bgcolor="#99FFFF" |
|
|
|-
| bgcolor="#99FFFF" |
|—
|
|}

Множество вершин прямого произведения двух [[граф (математика)|графов]] <math>G</math> и <math>H</math> задаётся как произведение вершин графов сомножителей.
Рёбрами будут соединены следующие пары вершин:
* <math>(g,\;h)(g',\;h)</math>, где <math>g</math> и <math>g'</math> — соединённые ребром вершины графа <math>G</math>, а <math>h</math> — произвольная вершина графа <math>H</math>;
* <math>(g,\;h)(g,\;h')</math>, где <math>g</math> — произвольная вершина графа <math>G</math>, а <math>h</math> и <math>h'</math> — соединённые ребром вершины графа <math>H</math>.

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является [[дизъюнктное объединение|объединением]] двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

== Вариации и обобщения ==
Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в [[Теория категорий|теории категорий]], где она послужила основой для понятия [[Произведение (теория категорий)|произведения объектов]]. Неформально, произведение двух [[Объект категории|объектов]] <math>A</math> и <math>B</math> — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на <math>A</math> и <math>B</math>. Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом [[Изоморфизм|изоморфные]] объекты.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга |часть= |автор=[[Бурбаки]] Н.
|заглавие=Основные структуры анализа. Книга 1. Теория множеств |ref=Бурбаки | ссылка=
|место=М. | год=2013 |страниц=460 }}
* {{книга | автор = Эдельман С. Л. | заглавие = Математическая логика | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1975 | страниц = 176 | isbn = | ref = Эдельман}}

{{Теория множеств}}
{{Нерабочие сноски|дата=2025-09-16}}

[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Операции над множествами]]
[[Категория:Кардинальные операции (теория множеств)]]

Прямое произведение - История изменений

imported>TextworkerBot: +шаблон: некорректные викиссылки в сносках