imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (3), замена устаревших имён параметров (1)

2025-07-16T10:11:50Z

замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (3), замена устаревших имён параметров (1)

Новая страница

[[Файл:Triangle.EulerLine.svg|мини|Прямая Эйлера (красная) проходит через центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести и центр окружности девяти точек]]
[[Файл:Прямая Эйлера.svg|thumb|300px|Прямая Эйлера выделена зелёным цветом.
<math>H</math> — [[ортоцентр]];
<math>M</math> — [[Центроид треугольника|центроид]] (точка пересечения медиан);
<math>O</math> — центр [[Описанная окружность|описанной окружности]];
<math>O_9</math> — центр [[Окружность девяти точек|окружности девяти точек]] ]]
'''Пряма́я Э́йлера''' — прямая, проходящая через центр [[описанная окружность|описанной окружности]], [[Центроид треугольника|центроид]] и [[ортоцентр]] [[треугольник]]а.

== Свойства ==
* Прямая Эйлера проходит через:
** [[Центроид]] треугольника
** [[Ортоцентр]] треугольника
** Точку пересечения [[Серединный перпендикуляр|серединных перпендикуляров]] к сторонам треугольника (центр описанной окружности)
** Центр [[Окружность девяти точек|окружности девяти точек]] (Это середина отрезка между центром описанной окружности и ортоцентром)
** [[Эксетерская точка|Точка Эксетера]] X(22)
** '''Теорема Эйлера.''' Точка пересечения медиан ''M'' лежит на прямой Эйлера и делит отрезок между центром описанной окружности ''O'' и ортоцентром ''H'' в отношении 1:2 (<math>OM:MH=1:2</math>).
** Прямая <math>X(485)X(486)</math>, проходящая через две [[точки Вектена]] <math>X(485)</math> и <math>X(486)</math>, пересекает ''прямую Эйлера'' в [[Центр девяти точек|центре девяти точек]] треугольника <math>ABC</math>.
** Уравнение ''прямой Эйлера'' в [[трилинейные координаты|трилинейных координатах]] есть
**: <math>x \sin 2A \sin ( B - C ) + y \sin 2B \sin ( C - A ) + z \sin 2C \sin ( A - B ) = 0.</math>

* ''На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны [[ортотреугольник]]а, с прямыми, содержащими стороны треугольника''. Эта прямая называется '''[[Трилинейные поляры треугольника|ортоцентрической осью]]''', она перпендикулярна прямой Эйлера.

[[Файл:Schiffler Point.svg|мини|Точка Шиффлера <math>S_p</math> — точка пересечения прямых Эйлера трёх треугольников: <math>\triangle BCI, \; \triangle CAI</math>и <math>\triangle ABI</math>]]
* '''Теорема Шиффлера''' утверждает следующее: Если в треугольнике ''ABC'' с [[Центр вписанной окружности|центром вписанной окружности]] ''I'' рассмотреть три треугольника ''BCI'', ''CAI'' и ''ABI'', то их три (''первые'') прямые Эйлера, а также (''первая'') ''прямая Эйлера'' треугольника ''ABC'' (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — в [[Точка Шиффлера|точке Шиффлера]] ''Sp'' (см. рис. справа).

== Вторая прямая Эйлера (прямая Эйлера — Нагеля) ==
Указанную выше ''прямую Эйлера'' иногда называют ''(первой) обобщённой прямой Эйлера''{{sfn|Зетель|1962|c=153}}. На этой прямой лежат 4 точки:
* [[центроид]] данного треугольника (он же — [[центроид]] [[Дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]], и он же — [[центроид]] [[Антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]])
* [[ортоцентр]] данного треугольника ''ABC''
* центр описанной окружности данного треугольника ''ABC'' (он же — центр [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]] [[Антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]] ''A"B"C"'')
* центр [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]] данного треугольника ''ABC''
* Некоторые авторы добавляют ещё точку Лоншана L — точку зеркального отражения ортоцентра треугольника ''ABC'' относительно его центра описанной окружности. Эта точка — ортоцентр [[антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]]<ref>{{Cite web |url=http://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/d/d036.htm |title=archive.lib.msu.edu |access-date=2015-09-04 |archive-date=2013-06-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130602080258/http://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/d/d036.htm |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html |title=faculty.evansville.edu |access-date=2015-09-04 |archive-date=2007-02-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070210095038/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html |url-status=live }}</ref>.

'''Вторую прямую Эйлера''' или '''прямую Эйлера — Нагеля''' определяет следующая [[Теорема Хузеля]].
* [[Теорема Хузеля]] ''уточнённая''(Housel). ''Центр тяжести (''G'') данного треугольника ABC ([[центроид]]), [[центр вписанной окружности]] (''I''), его [[точка Нагеля]] (''M'') и центр (''S'') круга, вписанного в [[дополнительный треугольник]] ''A’B’C''' (или в [[Центр Шпикера]]), лежат на одной прямой''. Более того<ref>{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NagelLine.shtml|title=Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles|last=A. Bogomolny|lang=en|access-date=2019-04-08|archive-date=2012-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20120510034722/http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NagelLine.shtml|url-status=live}}</ref>,
:<math>\left\{ \begin{matrix} IS = SM; \\ IG = 2GS; \\ MG = 2IG .\end{matrix} \right.</math>

На этой прямой лежат 4 точки:
* [[центроид]](''G'') данного треугольника (он же — [[центроид]] [[Дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]], и он же — [[центроид]] [[Антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]]).
* [[точка Нагеля]] (''M'') данного треугольника ''ABC'' (она же — центр круга, вписанного в [[антидополнительный треугольник]] ''A"B"C"'')
* [[центр вписанной окружности]] (''I'') данного треугольника ''ABC''
* центр (''S'') круга, вписанного в [[дополнительный треугольник]] ''A’B’C''', называемый также [[Центр Шпикера|центром Шпикера]].

* Все ''обобщённые прямые Эйлера'' обязательно проходят через [[центроид]] данного треугольника, являющегося одновременно [[центроид]]ами [[Дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]] и [[Антидополнительный треугольник|антидополнительного треугольника]].

== Перспектор Госсарда и прямые Эйлера ==

Если брать у треугольника ''ABC'' любую пару сторон, а третьей стороной брать ''первую прямую Эйлера'' треугольника ''ABC'', то перебором трёх вариантов можно построить три треугольника.
Их ''первые прямые Эйлера'' образуют треугольник ''AgBgCg'', конгруэнтный треугольнику ''ABC''
(равный ему, но повëрнутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяющие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой ''перспектором Госсарда''.

== Ссылка ==
Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

== История ==
Теорема Эйлера была доказана в 1765 году [[Эйлер, Леонард|Л. Эйлером]].
Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]].

== См. также ==
* [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера]]
* [[Прямая Обера]]
* [[Прямая Симсона]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Leonhard Euler''. [http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E325.html Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum] // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, т. 11. — С. 103—123. Перепечатано в Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139—157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061.
* {{книга|автор=Дм. Ефремов.|ссылка=https://math.ru/lib/book/djvu/ngt/ngt.djvu|заглавие=Новая геометрия треугольника|год=1902}}
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
* {{Книга:Факультативный курс по математике. Никольская|96—97}}.
* {{книга
| автор = [[Зетель, Семен Исаакович|Зетель С. И.]]
| заглавие = Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.
| место = М.
| издательство = Учпедгиз
| год = 1962
| страниц = 153
| isbn =
| ref = Зетель
}}

{{Треугольник}}

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Эйлера]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]

Прямая Эйлера - История изменений

imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (3), замена устаревших имён параметров (1)