imported>Sldst-bot: Раскрытие ш:Rq до ш:нет источников, topic=math удалён — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:37:57Z

Раскрытие ш:Rq до ш:нет источников, topic=math удалён — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

'''Простая группа''' — [[Группа (математика)|группа]], не имеющая [[нормальная подгруппа|нормальных подгрупп]], отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы [[Классификация простых конечных групп|полностью классифицированы]] в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории [[группа Ли|групп Ли]] и [[алгебраическая группа|алгебраических групп]] определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. [[простая группа Ли]].

== Примеры ==

=== Конечные простые группы ===

[[Циклическая группа]] <math>G=\mathbb Z/5 \mathbb Z</math> проста. Действительно, если <math>H</math>— подгруппа <math>G</math>, то порядок <math>H</math> по [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теореме Лагранжа]] должен делить порядок <math>G</math>, равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть <math>H</math> либо тривиальна, либо совпадает с <math>G</math>. Наоборот, группа <math>\mathbb Z/ 12 \mathbb Z</math> простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа <math>\mathbb Z</math> целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в <math>\mathbb Z</math>. Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы [[Простое число|простого]] порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — [[знакопеременная группа]] <math>A_5</math> порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна <math>A_5</math>. Более того, простыми являются все группы <math>A_n</math> при <math>n \geqslant 5</math>. Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после <math>A_5</math>— специальная проективная группа <math>PSL(2,7)</math> порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна <math>PSL(2,7)</math>.

=== Бесконечные простые группы ===
Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества <math>X</math>; в частности, если множество <math>X</math>счётно, это бесконечная знакопеременная группа <math>A_{\infty}</math>. Ещё одним семейством примером служат <math>PSL_n(\mathbb F)</math>, где поле <math>\mathbb F</math> бесконечно и <math>n \geqslant 2</math>.

Существуют [[конечно порождённая группа|конечно порождённые]] и даже [[конечно определённая группа|конечно определённые]] бесконечные простые группы.

== Свойства ==
* Всякая группа вложима в простую группу.

== См. также ==
* [[Простая группа Ли]]
* [[Абелева группа]]
{{нет источников|дата=2009-08-26}}
[[Категория:Теория групп]]

Простая группа - История изменений

imported>Sldst-bot: Раскрытие ш:Rq до ш:нет источников, topic=math удалён — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО