imported>AdmiralHood: Отношение площадей России и Австралии: 17,1 / 7,7 = 2,2.

2026-02-05T00:25:07Z

Отношение площадей России и Австралии: 17,1 / 7,7 = 2,2.

Новая страница

[[Файл:Mercator projection Square.JPG|thumb|350px|right|Карта мира между 85° ю. ш. и 85° с. ш. в проекции Меркатора]]
[[Файл:Worlds animate.gif|thumb|right|Соотношения между площадью каждой страны в проекции Меркатора и истинной площадью]]
'''Равноуго́льная цилиндри́ческая прое́кция Мерка́тора''' — одна из основных [[картографическая проекция|картографических проекций]]. Разработана [[Меркатор, Герард|Герардом Меркатором]] для применения в его «Атласе». «[[Равноугольная проекция|Равноугольная]]» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все [[Локсодрома|локсодромы]] в ней изображаются прямыми линиями. [[Меридиан]]ы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. [[Параллель|Параллели]] же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи [[экватор]]а равно расстоянию между меридианами и быстро увеличивается при приближении к [[Географические полюсы|полюсам]]. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной [[широта|широты]].
[[Файл:Mercator 1569.png|thumb|400px|right|Карта мира Меркатора 1569 года]]
[[Масштаб]] на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный [[косинус]] широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них [[Гренландия]] кажется в 2—3 раза больше [[Австралия|Австралии]] и сравнима по размерам с [[Южная Америка|Южной Америкой]]. Однако в реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.
[[Файл:Tissot mercator.png|thumb|right|250px|Искажения площадей в проекции Меркатора]]
Другой заметный пример - Россия, несмотря на размер, всего лишь в 1,7 раза больше по площади, чем США, и в 2,2 раза больше по площади, чем Австралия.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего [[локсодрома|под одним и тем же румбом]] к меридиану (то есть с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

== Математическое выражение проекции Меркатора ==
[[Файл:Mercator grid.png|thumb|Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°]]
Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна [[долгота|долготе]] точки <math>\lambda</math> (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах):
: <math>x=c(\lambda-\lambda_0).</math>
Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси {{math|''X''}} на широте <math>\theta</math> равен просто <math>c/(R\cos\theta)</math> ({{math|''R''}} — радиус Земли), то из условия <math>dy R\cos\theta/c= R d\theta</math> мы получаем выражение для зависимости {{math|''y''}} от <math>\theta</math>:
: <math>
\begin{matrix}
y &=& c \ln\operatorname{tg}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\\
&=& c \,\operatorname{arth}\sin\theta.
\end{matrix}
</math>

(Здесь arth — [[Обратные гиперболические функции|обратный гиперболический тангенс]]).

Функция <math>\operatorname{arth}\sin\theta</math> носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганна Ламберта]]) и иногда обозначается как <math>\operatorname{lam}\theta</math> или <math>\operatorname{arcgd}\theta</math> (см. также [[Интеграл от секанса]]).

Обратное преобразование (из линейной координаты {{math|''y''}} в широту {{math|θ}}) носит название [[Функция Гудермана|функции Гудермана]], или гудерманиана (в честь [[Кристоф Гудерман|Кристофа Гудермана]]) и обозначается <math>\operatorname{gd} y.</math> Обратное преобразование координаты {{math|''x''}} в долготу {{math|λ}} является, как и прямое преобразование, линейной функцией:

: <math>
\begin{matrix}
\theta &=& \operatorname{gd} y = 2\operatorname{arctg} \left( e^{y/c} \right) - \frac{1} {2} \pi
\\ \\ \ &=& \operatorname{arctg} \left( \operatorname{sh} (y/c) \right),
\\ \\ \lambda &=& x/c + \lambda_0.
\end{matrix}
</math>

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом [[эллипсоид]]альной формы Земли. Для этого надо записать [[метрическая форма|метрическую форму]] для эллипсоида ({{math|''a''}} — [[большая полуось]], {{math|''b''}} — малая полуось) в географических координатах
: <math>
dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\operatorname{tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3},
</math>
перейти в ней к координатам {{math|''x''}} и {{math|''y''}} и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

: <math>
\begin{matrix}
x &=& c(\lambda-\lambda_0)\\
y &=& c [\operatorname{arth}\sin\theta-\varepsilon\operatorname{arth}(\varepsilon\sin\theta)].
\end{matrix}
</math>
Здесь <math>\varepsilon=\sqrt{a^2-b^2}/a</math> — [[эксцентриситет]] [[Земной эллипсоид|земного эллипсоида]].

Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в [[Элементарные функции|элементарных функциях]], но уравнение для обратного преобразования легко решить методом [[Теория возмущений|теории возмущений]] по малому <math>\varepsilon</math>. Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:
: <math>\theta_{n+1} = f \left(\theta_{n},y\right)</math>, где <math>\theta_0</math> можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.
: <math>\theta_{n+1} = \arcsin\left(1-\frac{(1+\sin \theta_n)(1-\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}{e^\frac{2y}{c}(1+\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}\right) </math>

== См. также ==
* {{iw|Web Mercator||en|Web Mercator projection}}
* [[Dell'Arcano del Mare]]

== Ссылки ==
* [http://expositions.nlr.ru/map_merkator/3.php Проекция Меркатора. Виртуальная выставка Российской национальной библиотеки]
* [http://randewy.narod.ru/nav/ucheb27.html Проекция Меркатора в учебнике по морской навигации]
{{вс}}
{{Карты и глобусы}}

[[Категория:Картографические проекции]]
[[Категория:1569 год в науке]]

Проекция Меркатора - История изменений

imported>AdmiralHood: Отношение площадей России и Австралии: 17,1 / 7,7 = 2,2.