imported>Fuxx: -wikilink with underscore

2022-12-29T07:08:06Z

-wikilink with underscore

Новая страница

'''Проективное преобразование''' [[Проективная плоскость|проективной плоскости]] — это [[Преобразование (математика)|преобразование]], переводящее прямые в прямые.

== Определение ==
Проективное преобразование — это [[биекция|взаимно-однозначное отображение]] <math>\phi</math> проективного пространства на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного множества всех подпространств.

Проективное преобразование прямой — биективное преобразование прямой, переводящее [[гармоническая четвёрка|гармоническую четверку]] точек в гармоническую четверку точек.

Проективное преобразование плоскости — это [[биекция|взаимно-однозначное отображение]] <math>\phi\colon\pi\to\pi</math> [[Проективная плоскость|проективной плоскости]] <math>\pi</math> на себя, при котором для любой прямой <math>l\subset\pi</math> образ <math>\phi(l)</math> также является прямой.

== Свойства ==
* Проективное преобразование сохраняет [[двойное отношение]].
* Проективное преобразование является взаимно однозначным отображением множества точек проективной плоскости, а также является взаимно однозначным отображением множества прямых.
* Отображение, обратное проективному, является проективным отображением. Композиция проективных отображений является проективным отображением. Таким образом, множество проективных отображений образует [[Группа (математика)|группу]].
* [[Проекция (геометрия)|Центральное проектирование]] — частный случай проективного преобразования.
* [[Аффинное преобразование]] является частным случаем проективного.
* Каждая прямая плоскости при проективном преобразовании плоскости отображается проективно на некоторую прямую. Каждый пучок лучей плоскости проективно отображается на пучок лучей.
* Проективное преобразование прямой определяется заданием трёх пар соответствующих по отображению точек. Это утверждение называют иногда основной теоремой проективной геометрии.
* Проективное преобразование плоскости определяется заданием четырёх пар соответствующих по отображению точек, причём никакие три точки из четверки образов или прообразов не лежат на одной прямой. При нетождественном отображении число неподвижных точек не более трех.
* Каждое проективное преобразование плоскости задаётся обратимым [[Линейное отображение|линейным преобразованием]] соответствующего ей трёхмерного пространства. В [[однородные координаты|однородных координатах]] оно представляется уравнениями:
*:<math>\begin{cases}
\lambda x_1' = c_{11}x_1+c_{12}x_2+c_{13}x_3 \\
\lambda x_2' = c_{21}x_1+c_{22}x_2+c_{23}x_3 \\
\lambda x_3' = c_{31}x_1+c_{32}x_2+c_{33}x_3
\end{cases}</math>
:причём <math>\det (c_{ij}) \neq 0</math>.

== Перспектива ==
[[Файл:projection geometry.svg|200px|thumb|Перспективное отображение<br><math>ABCD \doublebarwedge A'B'C'D',</math>]]
Пусть на проективной плоскости имеются 2 различные прямые <math>u_1, u_2</math> и не принадлежащая им точка ''O''. {{нп5|Перспективное отображение|Перспективным отображением||Perspectivity}} прямой <math>u_1</math> на прямую <math>u_2</math> с центром ''O'' называется отображение <math>\psi : u_1 \to u_2</math>, где для произвольной точки <math>A \in u_1</math> точка <math>\psi (A)</math> находится как пересечение <math>OA</math> и <math>u_2</math>. Это отображение обозначается так: <math>u_1 \overset{O}{\doublebarwedge} u_2,</math> что читается «<math>u_1</math> переводится в прямую <math>u_2</math> перспективным отображением с центром ''O''» или так: <math>ABC\ldots \overset{O}{\doublebarwedge} A'B'C'\ldots,</math> что читается «точки <math>A,B,C,\ldots</math> переводятся перспективным отображением с центром в ''O'' в точки <math>A',B',C',\ldots</math>».

Перспективное отображение биективно, сохраняет точку пересечения прямых <math>u_1, u_2</math> и сохраняет [[двойное отношение|двойное отношение четверки точек]].

Любое проективное отображение прямой <math>u_1</math> на прямую <math>u_2</math> может быть представлено как композиция перспективных отображений. Проективное отображение обозначается <math>ABCD \barwedge A'B'C'D'.</math>

== Инволюция ==
Проективное преобразование <math>\phi</math> называется [[Инволюция (математика)|инволюцией]], если для любой точки ''P'' верно, что <math>\phi (\phi(P))=P</math>.

Если <math>\phi</math> — инволюция, то <math>\phi ^{-1} = \phi</math>.

Если проективное преобразование <math>\phi</math> прямой имеет хотя бы одну такую точку ''P'', что <math>\phi (\phi(P))=P</math>, то <math>\phi</math> — инволюция.

Если нетождественная инволюция проективной прямой имеет неподвижные точки, то их число равно либо двум, либо нулю. Инволюция, имеющая 2 неподвижные точки, называется гиперболической. Гиперболическая инволюция переставляет местами точки, [[Гармонически сопряжённые точки|гармонически сопряжённые]] относительно неподвижных точек. Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.

Инволюция определяется заданием двух пар соответствующих точек.

Три пары противоположных сторон [[Полный четырёхугольник|полного четырёхугольника]] пересекают любую прямую (не проходящую через вершину) в трёх парах точек одной инволюции (это утверждение называют теоремой Дезарга, хотя её происхождение можно отнести к лемме IV «Поризмов» [[Евклид]]а в VII томе «Математической коллекции» [[Папп Александрийский|Паппа Александрийского]]).

== Коллинеации и корреляции ==
Коллинеацией называется преобразование, переводящее точки в точки, прямые в прямые и сохраняющее отношение инцидентности точек и прямых, а также двойное отношение любой четвёрки [[Коллинеарность|коллинеарных]] точек. Коллинеации образуют группу. Требование сохранения двойного отношения четвёрки коллинеарных точек избыточно, но это сложно доказывается. Коллинеации рассматривают вместе с корреляциями — преобразованиями проективной плоскости, переводящими точки в прямые, а прямые в точки и сохраняющими отношение инцидентности. Пример [[Корреляция|корреляции]] — полярное соответствие, то есть отображение, переводящее точку в её [[Полюс и поляра|поляру]] относительно [[Коническое сечение|конического сечения]], а прямую — в её полюс.

== Гомология ==
{{main|Гомология (проективная геометрия)}}
Гомологией называется нетождественная коллинеация, для которой существует поточечно неподвижная прямая ''p'', называемая осью гомологии.

Для всякой гомологии существует неподвижная точка ''P'' (центр гомологии), обладающая тем свойством, что всякая инцидентная ей прямая неподвижна. Кроме центра ''P'' и точек оси ''p'' гомология неподвижных точек не имеет. Если <math>P \in p</math>, то гомология называется параболической, иначе — гиперболической.

При гомологии плоскости точка и её образ лежат на одной прямой с центром гомологии, а прямая и её образ пересекаются на оси гомологии.

Гомологию можно задать центром, осью и парой соответственных прямых. Гомологию можно также задать центром, осью и т. н. константой гомологии, отличной от <math>0,1,\infty</math>.

== См. также ==
* [[Двойное отношение]]
* [[Однородные координаты]]
* [[Проективная геометрия]]
* [[Проективная плоскость]]

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Гомография|[[Граве, Дмитрий Александрович|Д. А. Граве]]}}
* {{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]]|заглавие=Курс аналитической геометрии и линейной алгебры|место=М.|издательство=Наука|год=1979}}
* {{книга|автор=Р. Хартсхорн.|заглавие=Основы проективной геометрии|место=М.|издательство=Мир|год=1970}}
* {{книга|автор=Х. С. М. Кокстер.|заглавие=Действительная проективная плоскость |nodot=1|ответственный=под ред. проф. А. А. Глаголева|место=М.|год=1959}}
* {{книга|автор=Р. Курант, Г. Роббинс.|заглавие=Что такое математика? |nodot=1|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm}}
* {{книга|автор=[[Ефимов Николай Владимирович|Н. В. Ефимов]]|заглавие=Высшая геометрия|издательство=ФизМатЛит|год=2003|ссылка=http://eek.diary.ru/p165970944.htm}}
* {{книга|автор=[[Певзнер Самуил Лейбович|С. Л. Певзнер]]|заглавие=Проективная геометрия. Учебное пособие по курсу "Геометрия" для студентов- заочников II-III курсов физико-математических факультетов|место=М.|издательство=Просвещение|год=1980}}

[[Категория:Проективная геометрия]]

Проективное преобразование - История изменений

imported>Fuxx: -wikilink with underscore