imported>Alex NB IT: отклонено последнее 1 изменение от 92.249.3.120: неаргументированное удаление внутренней ссылки

2024-09-24T09:51:06Z

отклонено последнее 1 изменение от 92.249.3.120: неаргументированное удаление внутренней ссылки

Новая страница

[[Файл:Boyflaeche.JPG|мини|Модель [[поверхность Боя|погружения проективной плоскости]].|альт=|350x350пкс]]

'''Проекти́вная пло́скость''' — двумерное [[проективное пространство]]. Важным частным случаем является [[вещественная проективная плоскость]].

Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет так называемая [[Теорема Дезарга|аксиома Дезарга]], в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.

== Определения ==

=== Проективная плоскость над телом ===
'''Проективная плоскость над [[Тело (алгебра)|телом]]''' <math>K</math> — это множество одномерных подпространств (прямых, проходящих через ноль) трёхмерного линейного пространства <math>K^3</math>. Данные прямые называются точками проективной плоскости.
Проективная плоскость над телом <math>K</math> обычно обозначается <math>K\mathrm{P}^2</math>,
например <math>\R \mathrm{P}^2</math>, <math>\mathbb{C} \mathrm{P}^2</math>, <math>\mathbb{H} \mathrm{P}^2</math> и так далее.

=== Аксиоматическое определение ===
[[Файл:Desargues's axiom.gif|thumb|Аксиома Дезарга]]
[[Файл:Ax_papp.gif|thumb|Аксиома Паппа]]
[[Файл:Ax_fano.gif|thumb|Аксиома Фано]]

Классическая проективная плоскость '''П''' определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.

* '''П1.''' Через две различные точки ''P'' и ''Q'' плоскости '''П''' проходит прямая, причём только одна.
* '''П2.''' Любые две прямые имеют общую точку.
* '''П3.''' Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
* '''П4.''' Каждая прямая содержит не менее трёх точек.

Дополнительными аксиомами являются следующие:

* '''П5. Аксиома Дезарга.''' Если треугольники ''ABC'' и ''A’B’C' '' таковы, что прямые ''AA' '', ''BB' '' и ''CC' '' пересекаются в точке ''O'', то точки пересечения пар соответствующих сторон ''AB'' и ''A’B' (P)'', ''BC'' и ''B’C' (R)'', ''AC'' и ''A’C'(Q)'' лежат на одной прямой.
* '''П6. Аксиома Паппа.''' Если ''l'' и ''l' '' — две различные прямые, ''A,B,С'' — три различные точки на прямой ''l'', а ''A',B',C' '' — три различные точки ''l','' причём все эти точки отличны от ''О'' — точки пересечения прямых ''l'' и ''l' '', то точки пересечения пар соответствующих сторон ''AB' '' и ''A’B (P)'', ''BC' '' и ''B’C (R)'', ''AC' '' и ''A’C (Q)'' лежат на одной прямой.
* '''П7. Аксиома Фано.''' Пусть ''A, B, C, D'' — точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки ''(AB, AC, AD, BC, BD, CD)''. Обозначим точку пересечения ''AB'' и ''CD'' через ''P, AC'' и ''BD'' через ''Q'' и ''AD'' и ''BC'' через ''R'' (диагональные точки). Эти диагональные точки не лежат на одной прямой.

== Примеры ==
* [[Вещественная проективная плоскость]].
* [[Плоскость Фано]]
* [[Плоскость Молтона]] — пример недезарговой проективной плоскости.

== Свойства ==
* Для любой ''проективной плоскости над телом'' выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости '''П''' выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом <math>K</math>.

* Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1—П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае '''П''' является проективной плоскостью над [[Поле (алгебра)|полем]] (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.

* Если выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П7 выполняется тогда и только тогда, когда '''П''' является проективной плоскостью над телом <math>K</math> характеристики ≠2.

== Топология вещественной проективной плоскости ==
{{main|Вещественная проективная плоскость}}
[[Файл:Proj_squa.gif|thumb|Проективная плоскость как квадрат со склеенными сторонами]][[Файл:Proj_disc_mob.gif|thumb|Проективная плоскость как круг с приклеенным листом Мёбиуса]]
[[Файл:Projective plane triangulation.gif|thumb|Триангуляция проективной плоскости]]

Представим вещественную проективную плоскость ''P²('''R''')'' как множество прямых в '' '''R³''' ''.
Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат.
Построим единичную сферу.
Тогда каждая наша прямая (точка ''P²('''R'''))'' пересекает сферу в двух противоположных точках: ''x'' и ''-x''.
Из этого легко получается другая модель.
Отбросим верхнюю полусферу ''z > 0''.
Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются.
«Выпрямляя» полусферу, получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности.
Круг [[Гомеоморфизм|гомеоморфен]] квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок).
Как показано на следующем рисунке, этот квадрат гомеоморфен кругу ''D²'' с приклеенным [[Лента Мёбиуса|листом Мёбиуса]] μ.
Поэтому проективная плоскость [[Ориентация#Многообразия|неориентируема]].

Цикл (полуокружность) от <math>-x</math> до <math>x</math>(обозначим его как <math>a</math>) не является границей, однако полная окружность от <math>-x</math> до <math>x</math> и от <math>x</math> до <math>-x</math> (обозначим его как <math>2a</math>) уже ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости, поэтому 2<math>a</math>≈0, а <math>a</math>≠0 (знак равенства означает, гомологичен или нет цикл нулю), то есть любой негомологичный нулю цикл гомологичен циклу <math>a</math>. Поэтому одномерная группа гомологий состоит из двух элементов ''H1(P²)={0,1}'', где нулевому элементу группы соответствуют одномерные циклы, гомологичные нулю, а единице — все циклы гомологичные <math>a</math>.

Группы [[Гомология (топология)|гомологий]] проективной плоскости легко вычисляются: <math>H_0=\mathbb{Z}</math>, <math>H_1=\mathbb{Z}/2</math> и <math>H_2=0</math>.
[[Число Бетти|Числа Бетти]] (ранги групп гомологий) равны соответственно ''b0=1, b1=0, b2=0''.
[[Эйлерова характеристика]] равна знакочередующейся сумме ''χ(P²)=b0-b1+b2=1''.
Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции ''χ(P²)'' (см. нижний рисунок) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 10, значит ''χ(P²)=6-15+10=1''.

Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех [[Компактное пространство|компактных]], [[Связное пространство|связных]], [[Замкнутое многообразие|замкнутых]] [[Многообразие#Гладкие многообразия|гладких многообразий]] проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна ''1''.

[[Фундаментальная группа]] ''π1(P²)='' '''Z2''', высшие [[гомотопические группы]] соответствуют таковым для сферы ''πn(P²)=πn(S²)'' для ''n≥2''.

== См. также ==
* [[Лента Мёбиуса]]
* [[Бутылка Клейна]]
* [[Поверхность Боя]] — пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

== Литература ==
* ''Артин Э.'' Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969
* ''Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.'' Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
* ''Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.'' Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
* ''Кокстер Г. С. М.'' Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
* ''Кокстер Г. С. М.'' Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966
* ''Фоменко А. Т.'' Наглядная геометрия и топология. — М.: МГУ, 1998
* ''Хартсхорн Р.'' Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970

[[Категория:Проективная геометрия]]
[[Категория:Алгебраическая топология]]
[[Категория:Поверхности]]
[[Категория:Геометрия инцидентности]]

Проективная плоскость - История изменений

imported>Alex NB IT: отклонено последнее 1 изменение от 92.249.3.120: неаргументированное удаление внутренней ссылки