imported>Alex NB OT: унификация языковых шаблонов

2025-11-15T11:06:25Z

унификация языковых шаблонов

Новая страница

[[Файл:David Hilbert.tif|thumb|250px|Коллаж Анны Горбан ({{lang-en|Anna Gorban}}) из журнала [[Philosophical Transactions of the Royal Society]]. 19 марта 2018, volume 376, issue 2118]]
'''Пробле́мы Ги́льберта''' — список из 23 математических задач, представленный [[Гильберт, Давид|Давидом Гильбертом]] на [[Международный конгресс математиков|II Международном конгрессе математиков]] в [[Париж]]е в 1900 году. Полный список из 23 задач был опубликован позже, в частности, в переводе на английский язык в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в ''[[Bulletin of the American Mathematical Society]]''<ref name=Hilbert_1902>{{статья |заглавие=Mathematical Problems |ссылка=http://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/home.html |издание=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |том=8 |номер=10 |страницы=437—479 |doi=10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 |язык=en |автор=Hilbert, David |год=1902 |тип=journal |archive-date=2018-07-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180706131100/http://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/home.html }} Earlier publications (in the original German) appeared in {{статья |заглавие=Mathematische Probleme |ссылка=https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002498863&physid=phys271#navi |издание=Göttinger Nachrichten |страницы=253—297 |язык= |автор=Hilbert, David |год=1900 |archive-date=2022-03-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220320145857/https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002498863&physid=phys271#navi }} and {{статья |заглавие=[no title cited] |издание=Archiv der Mathematik und Physik |том=1, 3 |страницы=44—63, 213—237 |язык= |автор=Hilbert, David |год=1901}}</ref>. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, [[Алгебра|алгебру]], [[Теория чисел|теорию чисел]], [[Геометрия|геометрию]], [[Топология|топологию]], алгебраическую геометрию, [[Группа Ли|группы Ли]], вещественный и комплексный анализ, [[Дифференциальное уравнение|дифференциальные уравнения]], математическую физику и [[Теория вероятностей|теорию вероятностей]], а также [[вариационное исчисление]]) не были решены. Некоторые из них оказали большое влияние на математику XX века.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две  не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

С 1900 года математики и математические организации объявляли списки проблем, но, за редким исключением, эти сборники не оказали почти такого же влияния и не произвели столько работы, сколько проблемы Гильберта. Одно из исключений представлено тремя гипотезами, высказанными [[Вейль, Андре|Андре Вейлем]] в конце 1940-х годов ([[гипотезы Вейля]]). [[Эрдёш, Пал|Пал Эрдёш]] составил список из сотни, если не тысячи математических задач, многие из которых глубокие. Эрдёш часто предлагал денежные вознаграждения; размер вознаграждения зависел от предполагаемой сложности задачи.

== Список проблем ==
{| class="wikitable sortable"
! №
! Статус
! Краткая формулировка
! Результат
! Год решения
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Первая проблема Гильберта|1]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''<ref>{{anchor|Сноска: 1-я проблема}}Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат [[Система Цермело — Френкеля|системе аксиом Цермело — Френкеля]] (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).</ref>
|Проблема Кантора о мощности континуума ([[континуум-гипотеза]])
|Доказано, что проблема неразрешима в [[Система Цермело — Френкеля|ZFC]]. Нет единого мнения относительно того, является ли это решением проблемы
|1940, 1963
|-
|bgcolor="#FFE2B6"|[[Вторая проблема Гильберта|2]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''нет консенсуса'''<ref>[[Гёдель, Курт|Курт Гёдель]] [[Теорема Гёделя о неполноте|доказал]], что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году [[Генцен, Герхард|Герхард Генцен]] доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]] до [[Порядковое число|ординала]] ε0.</ref>
|Непротиворечивость аксиом [[Арифметика|арифметики]]
|'''Требует уточнения формулировки'''
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Третья проблема Гильберта|3]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Равносоставленность равновеликих [[многогранник]]ов
|'''Опровергнута'''
|1900
|-
|bgcolor="#FFE2B6"|[[Четвёртая проблема Гильберта|4]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''слишком расплывчатая'''
|Перечислить [[Метрический тензор|метрики]], в которых прямые являются [[геодезическая|геодезическими]]
|'''Требует уточнения формулировки'''<ref>Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.</ref>
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Пятая проблема Гильберта|5]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Все ли непрерывные [[Группа (математика)|группы]] являются [[Группа Ли|группами Ли]]?
|'''Да'''
|1953
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Шестая проблема Гильберта|6]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''<ref>L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), [[Archive for History of Exact Sciences]] 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.</ref>
|Математическое исследование аксиом физики
|Зависит от интерпретации исходной постановки проблемы<ref>Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, {{DOI|10.1098/rsta.2017.0222}}</ref>
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Седьмая проблема Гильберта|7]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Является ли [[Постоянная Гельфонда — Шнайдера|число <math>2^{\sqrt{2}}</math>]] [[Трансцендентное число|трансцендентным]] (или хотя бы [[Иррациональное число|иррациональным]])<ref>Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если ''a'' ≠ 0, 1 — [[алгебраическое число]], и ''b'' — алгебраическое иррациональное, то ''ab'' — [[трансцендентное число]]</ref></td>
|'''Да'''
|1934
|-
|bgcolor="#FFE2B6"|[[Восьмая проблема Гильберта|8]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''не решена, но есть прогресс'''<ref>Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена совсем, а вторая решена частично. Первая из них, [[гипотеза Римана]], является одной из семи [[Задачи тысячелетия|Проблем тысячелетия]], которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.</ref>
|Проблема простых чисел ([[гипотеза Римана]] и [[проблема Гольдбаха]])
|Доказана тернарная гипотеза Гольдбаха<ref>{{Cite web|url=https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC |title=Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…|lang=en|access-date=2013-06-21|archive-date=2013-08-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20130808033724/https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC |url-status=live}}</ref><ref>[http://arxiv.org/abs/1305.2897 Major arcs for Goldbach’s theorem] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/1305.2897 |date=20130729103651 }}, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897</ref><ref>[http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/ Goldbach Variations] {{Wayback|url=http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/ |date=20131216021654 }} // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013</ref><ref>[http://www.sciencemag.org/content/340/6135/913.summary Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory] {{Wayback|url=http://www.sciencemag.org/content/340/6135/913.summary |date=20130623011558}} // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 [[doi:10.1126/science.340.6135.913]]</ref>.
|
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Девятая проблема Гильберта|9]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''<ref>Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.</ref>
|Доказательство наиболее общего [[Квадратичный закон взаимности|закона взаимности]] в любом числовом поле
|Доказана для абелевого случая
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Десятая проблема Гильберта|10]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''<ref>[[Матиясевич, Юрий Владимирович|Юрий Матиясевич]] в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.</ref>
|Есть ли универсальный алгоритм решения [[диофантово уравнение|диофантовых уравнений]]?
|'''Нет'''
|1970
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Одиннадцатая проблема Гильберта|11]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''
|Исследование [[Квадратичная форма|квадратичных форм]] с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
|
|
|-
|bgcolor="#FFB2B2"|[[Двенадцатая проблема Гильберта|12]]
|bgcolor="#FFB2B2"|'''не решена'''
|Распространение [[Теорема Кронекера — Вебера|теоремы Кронекера об абелевых полях]] на произвольную алгебраическую область рациональности
|
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Тринадцатая проблема Гильберта|13]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?
|'''Да'''
|1957
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Четырнадцатая проблема Гильберта|14]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группы<ref>Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий [[редуктивная группа|редуктивных групп]] на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.</ref>
|'''Опровергнута'''
|1959
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Пятнадцатая проблема Гильберта|15]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''
|Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта
|
|
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Шестнадцатая проблема Гильберта|16]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''<ref>Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно <math>M = (n-1)(n-2)/2+1</math>, и что такие кривые существуют — их называют ''M''-кривыми. Как могут быть расположены овалы ''M''-кривой? Эта задача решена до степени <math>n=6</math> включительно, а для степени <math>n=8</math> довольно много известно. Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы ''M''-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для <math>n=6</math> есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной [[Дюлак, Анри|Дюлаком]], но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана [[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Ильяшенко]] и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.</ref>
|Топология алгебраических кривых и поверхностей<ref>Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen»] {{Wayback|url=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html |date=20120205025851 }}{{ref|de}}. Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 английского перевода текста анонса] {{Wayback|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 |date=20180825052022 }}{{ref|en}}), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.</ref>
|
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Семнадцатая проблема Гильберта|17]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов?
|'''Да'''
|1927
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Восемнадцатая проблема Гильберта|18]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''<ref>Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.</ref><ref>Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.</ref>
|
* Конечно ли число [[кристаллографическая группа|кристаллографических групп]]? (a)
* Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? (b)
* Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная [[Плотная упаковка равных сфер|упаковки шаров]] наиболее плотными? (c)
|
* '''Да'''
* '''Да'''
* '''Да'''
| 1911 (а) 1928 (b) 1998 (c)
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Девятнадцатая проблема Гильберта|19]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Всегда ли решения регулярной вариационной [[Лагранжиан|задачи Лагранжа]] являются аналитическими?
|'''Да'''
|1957
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[двадцатая проблема Гильберта|20]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''<ref>''Янг Л.'' Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М., Мир, 1974</ref><ref>''MacShane'' Generalized curves. Duke math. J., 6 (1940), 513—536</ref><ref>''Гамкрелидзе Р. В.'' О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР, 143 (1962), 1243—1245</ref>
|Все ли регулярные вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения, если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование?
|'''Да'''
|1937—1962
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Двадцать первая проблема Гильберта|21]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Доказательство существования [[Линейное дифференциальное уравнение|линейных дифференциальных уравнений]] с заданной группой монодромии
|Существуют или нет, зависит от более точных формулировок задачи
|1992
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Двадцать вторая проблема Гильберта|22]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''
|Униформизация аналитических зависимостей с помощью [[Автоморфная функция|автоморфных функций]]
|
|
|-
|bgcolor="#FFE2B6"|[[Двадцать третья проблема Гильберта|23]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''не решена, но есть прогресс'''
|Развитие методов [[Вариационное исчисление|вариационного исчисления]]
|'''Требует уточнения формулировки'''
|
|}

== 24-я проблема ==
: ''Основная статья: [[24-я проблема Гильберта]]''
Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки [[Тиле, Рюдигер|Рюдигером Тиле]] в 2000 году<ref>[http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Thiele1-24.pdf ''Hilbert’s twenty-fourth problem''] {{Wayback|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Thiele1-24.pdf |date=20160303174820 }}. Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003.</ref>.

== Другие знаменитые списки проблем ==
{{Main|Проблемы Смейла|Задачи тысячелетия|}}
{{also|Открытые математические проблемы}}
Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик [[Смейл, Стивен|Стивен Смейл]] предложил [[Проблемы Смейла|новый список]] современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). Проблемы Смейла не получили большого внимания со стороны средств массовой информации, и неясно, насколько серьёзное внимание они получают от математического сообщества. [[Задачи тысячелетия|Свой список]] обнародовал [[Математический институт Клэя]]. Каждая проблема премии включает в себя награду в миллион долларов. В 2008 году [[Управление перспективных исследовательских проектов Министерства обороны США]] объявила о своём собственном списке из 23 проблем, которые, как она надеялась, могут привести к крупным математическим прорывам, «тем самым укрепив научно-технические возможности [[Министерство обороны США|Министерства обороны США]]»<ref>{{cite web|url=http://www.networkworld.com/community/node/33361|title=The world's 23 toughest math questions|lang=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20140209105728/http://www.networkworld.com/community/node/33361|archive-date=2014-02-09|access-date=2019-11-23|url-status=live}}</ref><ref>{{cite web|url=https://www.fbo.gov/index?s=opportunity&mode=form&id=c120bc7171c203aa5f4b3903aa08e558&tab=core&_cview=0 |title=DARPA Mathematics Challenge solicitation|lang=en|date=2008-09-26|access-date=2019-11-23|archive-date=2019-01-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190112150040/https://www.fbo.gov/index?s=opportunity&mode=form&id=c120bc7171c203aa5f4b3903aa08e558&tab=core&_cview=0 |url-status=live}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{публикация|автор=Болибрух А. А.|заглавие=Проблемы Гильберта (100 лет спустя)|серия=[[Математическое просвещение#Библиотека «Математическое просвещение»|Библиотека «Математическое просвещение»]]|год=1999|издательство=[[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]|том=2|страниц=24|ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2}}
* {{публикация|автор=Демидов С. С.|часть=К истории проблем Гильберта|заглавие=[[Историко-математические исследования]]|номер=17|издательство=Наука|место=М.|год=1966|страницы=91—122}}
* {{публикация|автор=Демидов С. С.|часть=«Математические проблемы» Гильберта и математика XX века|заглавие=Историко-математические исследования |номер=41 (6)|место=М.|издательство=Янус-К|год=2001|страницы=84—99}}
* {{публикация|автор=Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семёнов В. В.|заглавие=Двадцатая проблема Гильберта|подзаголовок=Обобщённые решения операторных уравнений|ссылка=http://shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html|место=М.|издательство=Диалектика|год=2009|страниц=192|isbn=978-5-8459-1524-5}}
* {{публикация|заглавие=Проблемы Гильберта|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm|вид=сб.|ответственный=под ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]]|место=М.|издательство=Наука|год=1969|страниц=240}}

== Ссылки ==
* [https://www.webcitation.org/66lMxImOr?url=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта]
* [http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM Русский перевод доклада Гильберта] (вводная часть и заключение)

{{Проблемы Гильберта}}
{{Вклад Давида Гильберта в науку}}
{{ВП-порталы|Математика}}
{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Проблемы Гильберта| ]]
[[Категория:Математические гипотезы|Гильберта]]
[[Категория:История математики]]
[[Категория:Открытые математические проблемы|Гильберта]]

Проблемы Гильберта - История изменений

imported>Alex NB OT: унификация языковых шаблонов