imported>TextworkerBot: -шаблон: не найдено ошибочных викиссылок в сносках

2025-10-15T13:58:54Z

-шаблон: не найдено ошибочных викиссылок в сносках

Новая страница

'''Преобразова́ния Галиле́я''' — в [[Классическая механика|классической механике]] ([[Механика|механике]] [[Ньютон, Исаак|Ньютона]]) и нерелятивистской [[квантовая механика|квантовой механике]]: [[преобразования координат]] и скорости [[Материальная точка|материальной точки]] при переходе в описании её движения от одной [[Инерциальная система отсчёта|инерциальной системы отсчёта (ИСО)]] к другой{{efn|Являясь чисто кинематическими, преобразования Галилея применимы и к неинерциальным системам отсчёта — но лишь при условии их равномерного прямолинейного поступательного движения друг относительно друга — что ограничивает их важность в таких случаях. Вместе с привилегированной ролью инерциальных систем отсчёта, этот факт приводит к тому, что в подавляющем числе случаев о преобразованиях Галилея говорят именно в связи с последними.}}. Термин был предложен [[Филипп Франк|Филиппом Франком]] в [[1909 год]]у<ref>Frank P. /Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.— Ila, Bd 118.—S. 373 (esp. p. 382).</ref> в честь [[Галилей, Галилео|Галилео Галилея]]. Преобразования Галилея опираются на [[принцип относительности]] Галилея, который подразумевает одинаковость времени во всех системах отсчёта («абсолютное время»{{efn|От абсолютного времени физике, вообще говоря, пришлось отказаться в начале ХХ-го века — ради сохранения принципа относительности в его сильной формулировке, подразумевающей требование одинаковости записи всех фундаментальных уравнений физики в любой (инерциальной; а позднее принцип относительности был распространён и на неинерциальные) системе отсчёта.}}).

Преобразования Галилея являются предельным случаем [[преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] для скоростей (самой точки и относительного перемещения систем) малых по сравнению со [[Скорость света|скоростью света]] в вакууме <math>c</math> и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до величин порядка скоростей движения планет (и даже бо́льших) преобразования Галилея верны с очень высокой точностью.

* Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, можно считать во многом определяющим структуру ньютоновской механики. Вместе же с такими дополнительными идеями, как симметрия пространства и принцип суперпозиции в том или ином виде (утверждающий эквивалентность взаимодействия многих тел в малый промежуток времени композиции воображаемых последовательных попарных взаимодействий этих тел), преобразования Галилея могут быть практически достаточным основанием для формулировки ньютоновской механики (вывода её основных законов).

== Вид преобразований при коллинеарных осях ==
Если ИСО '''S'''' [[Сложное движение|движется]] относительно ИСО '''S''' с постоянной скоростью <math>u</math> вдоль оси <math>x</math>, а [[начало координат|начала координат]] этих ИСО совпадают в начальный момент времени обеих систем, то преобразования Галилея имеют вид{{efn|Принципиальный интерес с точки зрения физики представляет собой лишь случай, когда оси координат (если вообще используется координатное представление; к символической векторной форме записи этот вопрос можно считать не имеющим отношения) инерциальных систем, между которыми производится преобразование, направлены одинаково. В принципе они могут быть направлены и по-разному, но преобразования такого сорта представляют с физической точки зрения лишь технический интерес, так как сводятся к композиции преобразования с сонаправленными осями, рассмотренного в данной статье, и фиксированного (не зависящего от времени) [[поворот]]а осей координат, представляющего чисто геометрическую задачу, к тому же в принципе несложную. Поворот же осей, зависящий от времени, означал бы вращение координатных систем друг относительно друга, и по крайней мере одна из них не могла бы тогда быть инерциальной.}}:

: <math>x = x' + u t , \ </math>
: <math>{y} = y' , \ </math>
: <math>{z} = z' , \ </math>
: <math>t = t' \ </math>

или, с использованием векторных обозначений,

: <math>\vec {r} = \vec {r}' + \vec u t , \ </math>
: <math>t = t' \ </math>

(последние формулы остаются верными для любого направления осей координат). Здесь обозначения величин со штрихами относятся к системе '''S'''', а без штрихов — к '''S'''.

* Фактически формулы описывают сдвиг начала координат, [[Линейное уравнение|линейно зависящий]] от времени, подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчёта.

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчёта:

: <math>\vec {v} = \vec {v}' + \vec u ,</math>
: <math>\vec {a} = \vec {a}'</math>

* Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем [[Преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] для малых [[Скорость|скоростей]] <math>|\vec{u}| \ll c</math>, <math>|\vec{v}| \ll c</math> (точнее, второе требование выглядит как <math>|\vec{v}_{\parallel}| \ll c</math>, где <math>\vec{v}_{\parallel}</math> — параллельная <math>\vec{u}</math> компонента скорости{{efn|Cуть требования малости скоростей обсуждается, например, в [http://butikov.faculty.ifmo.ru/Lectures/Relativity-3.pdf лекции] {{Wayback|url=http://butikov.faculty.ifmo.ru/Lectures/Relativity-3.pdf |date=20240421195945 }}, там см. ф-лу (9) и пояснения после неё (только в той лекции, в отличие от данной статьи, относительная скорость систем обозначается <math>v</math>, а скорость частицы <math>u</math> со штрихом или без штриха).}}).

== Группа Галилея ==
[[Группа (математика)|Группой]] Галилея называется совокупность преобразований класса [[Инерциальная система отсчёта|инерциальных систем отсчёта]]
в себя, объединённая с временными трансляциями{{sfn|Ляховский, Болохов|1983|страницы=11}}. Основные преобразования группы Галилея также являются группами:

* '''Трансляции времени''', соответствующие изменению начала отсчёта времени: <math>P_{0}: t \rightarrow t' = t + \tau, \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x'} = \mathbf{x}</math>
* '''Трансляции пространства''', соответствующие изменению начала отсчёта координат: <math>P_{3}: t \rightarrow t' = t, \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x'} = \mathbf{x} + \mathbf{a}</math>
* '''Преобразования Галилея''', связывающие системы отсчёта, движущиеся с относительной скоростью <math>\mathbf{v}</math>:<math>K: t \rightarrow t' = t, x_{k} \rightarrow x_{k}' = - v_{k}t + x_{k}</math>
* '''Поворот декартовых осей''':<math>R: t \rightarrow t' = t, x_{k} \rightarrow x_{k}' = R_{kl}x_{l}</math>. Образуют специальную ортогональную группу трёхмерного пространства <math>SO(3)</math>.

Здесь <math>t</math> — время, <math>\mathbf{x}</math> — координаты в евклидовом пространстве <math>R^{3}</math>, <math>\mathbf{v}</math> — относительная скорость систем отсчёта, <math>R</math> — [[ортогональная матрица]].

=== Генераторы группы Галилея ===
Обозначим как <math>l_{k}</math> [[Генератор группы|генераторы группы]] вращений, <math>P_{\mu}, \mu = 0, 1, 2, 3</math> — генераторы пространственно-временных трансляций, <math>K_{i}, i = 1, 2, 3</math> — генераторы преобразований Галилея, символ <math>[ ... , ... ]</math> — коммутатор [[Алгебра Ли|алгебры Ли]]. Генераторы группы Галилея связаны следующими коммутационными соотношениями{{sfn|Ляховский, Болохов|1983|страницы=18}}:

: <math>[l_{k}, l_{m}] = \varepsilon_{kmn} l_{n}</math>
: <math>[l_{k}, P_{m}] = \varepsilon_{kmn} P_{n}</math>
: <math>[l_{k}, K_{m}] = \varepsilon_{kmn} K_{n}</math>
: <math>[l_{k}, P_{0}] = [P_{\mu}, P_{\nu}] = [K_{m}, K_{n}] = [P_{m}, K_{n}] = 0</math>
: <math>[P_{0}, K_{m}] = P_{m}</math>

здесь: <math>k, m, n = 1, 2, 3; \mu, \nu = 0, 1, 2, 3</math>, <math>\varepsilon_{kmn}</math> — [[структурные константы]] алгебры <math>\sigma</math> — матриц.

== Формула преобразования скоростей ==
Достаточно продифференцировать <math>\vec r</math> в формуле преобразований Галилея, приведённой выше, и сразу же получится приведённая в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.

Приведём более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчёта одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.

Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчёта на вектор <math>\vec r_o</math>, где [[радиус-вектор]] какого-то тела в системе отсчёта '''S''' обозначим через <math>\vec r</math>, а в системе отсчёта '''S'''' — через <math>\vec {r}'</math>, подразумевая, как всегда в классической механике, что время <math>t</math> в обеих системах отсчёта одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: <math>\vec r_o = \vec r_o(t), \vec r = \vec r(t), \vec {r}' = \vec {r}'(t)</math>.

Тогда в любой момент времени

: <math>\vec r = \vec r_o + \vec {r}'</math>

и, в частности, учитывая

: <math>\Delta \vec r = \vec r (t+\Delta t) - \vec r (t),~
\Delta \vec r_o = \vec r_o (t+\Delta t) - \vec r_o (t),~
\Delta \vec {r}' = \vec {r}' (t+\Delta t)-\vec {r}' (t)</math>,

имеем:

: <math>\begin{matrix}
\vec r (t) = \vec r_o (t) + \vec {r}' (t)\\
\vec r (t+\Delta t) = \vec r_o (t+\Delta t) + \vec {r}' (t+\Delta t)
\end{matrix}
{\Bigg\}}
\quad \Rightarrow \quad \Delta \vec r = \Delta \vec r_o + \Delta \vec {r}' \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec r_o}{\Delta t} + \frac{\Delta \vec {r}'}{\Delta t} </math>

<math>\Rightarrow \quad \langle\vec v\rangle = \langle\vec v_o\rangle + \langle\vec{v}'\rangle </math>,

где <math>\langle\vec v\rangle </math> — средняя скорость тела относительно системы '''S'''; <math>\langle\vec v'\rangle </math> — средняя скорость тела относительно системы '''S''''; <math>\langle\vec v_o\rangle </math> — средняя скорость системы '''S'''' относительно системы '''S'''.

Если <math>\Delta t \rightarrow 0</math>, то средние скорости совпадают с ''мгновенными'':

: <math>\vec v \;= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\; \left( \langle\vec v_o\rangle +\langle\vec{v}'\rangle \right) = \vec v_o + \vec{v}'</math>

или, короче,

: <math>\vec v \;= \vec v_o + \vec{v}'</math>

— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчёта относительно неподвижной системы отсчёта.

Аналогично можно получить формулу преобразования [[Ускорение|ускорений]] при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что движение систем друг относительно друга равноускоренное и поступательное:

: <math>\vec a = \vec {a}' + \vec{a}_o</math>.

== Преобразования Галилея в нерелятивистской квантовой механике ==
[[Уравнение Шрёдингера]] в нерелятивистской [[квантовая механика|квантовой механике]] инвариантно относительно преобразований Галилея. Из этого факта вытекает ряд важных следствий: существование ряда операторов квантовой механики, связанных с преобразованиями Галилея ([[группа Шрёдингера]]), невозможность описания состояний со спектром масс или нестабильные элементарные частицы в нерелятивистской квантовой механике ([[теорема Баргмана]]), существование квантовомеханических инвариантов, порождаемых преобразованиями Галилея{{sfn|Кемпфер|с=390|1967}}.

== См. также ==
{{кол|3}}
* [[Инерциальная система отсчёта]]
* [[Принцип относительности|Принцип относительности Эйнштейна]]
* [[Классическая механика]]
* [[Преобразования Лоренца]]
* [[Сложение скоростей]]
* [[Сложное движение]]
* [[b:Физика в конспектах|Физика в конспектах]] — wiki-книга
* [[Группа Шрёдингера]]
* [[Теорема Баргмана]]
{{кол|конец}}

== Комментарии ==
{{Комментарии}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
| автор = Кемпфер Ф.
| заглавие = Основные положения квантовой механики
| место = М.
| издательство = Мир
| год = 1967
| страниц = 391
| ref = Кемпфер
}}
* {{книга|ref=Ляховский, Болохов|автор=[[Ляховский, Владимир Дмитриевич|Ляховский В. Д.]], Болохов А. А.|заглавие=Группы симметрии и элементарные частицы|место=Л.|издательство=[[ЛГУ]]|год=1983}}

{{Галилео Галилей}}

[[Категория:Законы классической механики]]
[[Категория:Именные законы и правила|Галилея]]
[[Категория:Галилео Галилей]]

Преобразования Галилея - История изменений

imported>TextworkerBot: -шаблон: не найдено ошибочных викиссылок в сносках