imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: refless → ш:нет сносок (2013-09-01), isbn → ш:оформить литературу (2013-09-01)

2025-08-29T17:43:45Z

Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: refless → ш:нет сносок (2013-09-01), isbn → ш:оформить литературу (2013-09-01)

Новая страница

{{не путать|Обращение Мёбиуса|обращением Мёбиуса}}
{{эта статья|о конформных преобразованиях одноточечной компактификации евклидова пространства|Дробно-линейное преобразование|о функциях косплексного переменного}}
[[Файл:Mob3d-elip-opp-200.png|thumb|right|200px|Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и [[Сфера Римана|сфере Римана]] (чёрная)]]

'''Преобразова́ние [[Мёбиус, Август Фердинанд|Мёбиуса]]''' — преобразование одноточечной [[Компактификация|компактификации]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]] <math>\widehat{\R}^n = \R^n \cup \{\infty\}</math>, представляющее собой композицию конечного числа [[Инверсия (геометрия)|инверсий]] относительно [[Гиперсфера|гиперсфер]] и [[Отражение (геометрия)|отражений]] относительно [[Гиперплоскость|гиперплоскостей]]{{sfn|''Крушкаль С. Л.'' Предисловие редактора перевода, 1986|loc=с. 5}}{{sfn|''Бердон А.'' Геометрия дискретных групп, 1986|loc=§ 3.1. Мёбиусова группа в Rn, с. 25}}.

На [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] преобразования Мёбиуса суть простейшие [[конформные преобразования]], а в расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все [[Конформное отображение|конформные отображения]] мёбиусовы по [[Теорема Лиувилля о конформных отображениях|теореме Лиувилля]]{{sfn|''Крушкаль С. Л.'' Предисловие редактора перевода, 1986|loc=с. 5}}.

'''''Общая мёбиусова группа''''' <math>GM(\widehat{\R})^n</math> — конечномерная [[Группа (математика)|группа]] всех преобразования Мёбиуса пространства <math>\widehat{\R}^n</math>{{sfn|''Крушкаль С. Л.'' Предисловие редактора перевода, 1986|loc=с. 5}}.{{sfn|''Бердон А.'' Геометрия дискретных групп, 1986|loc=§ 3.1. Мёбиусова группа в Rn, с. 25}}

'''''Мёбиусова группа''''' <math>M(\widehat{\R})^n</math> — [[подгруппа]] общей мёбиусовой группы <math>GM(\widehat{\R})^n</math> всех преобразования Мёбиуса, сохраняющих [[Ориентация|ориентацию пространства]] <math>\widehat{\R}^n</math>, причём эта подгруппа [[Изоморфизм групп|изоморфна]] [[Специальная ортогональная группа|специальной ортогональной группе]] <math>SO(n + 1, 1)</math>{{sfn|''Крушкаль С. Л.'' Предисловие редактора перевода, 1986|loc=с. 5}}{{sfn|''Бердон А.'' Геометрия дискретных групп, 1986|loc=§ 3.1. Мёбиусова группа в Rn, с. 29}}.

В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости, считающегося классическим, для которого в русскоязычной литературе используют термин [[Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости|дробно-линейное преобразование]]{{sfn|''Альфорс Л.'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986|loc=1.1, с. 8}}.

В классическом двумерном случае <math>\R^2</math> '''преобразование Мёбиуса''', оно же '''круговое преобразование''', определяется как отображающее окружность на окружность. Здесь возможны два случая{{sfn|''Иванов А. Б.'' Круговое преобразование, 1982}}:
* '''преобразование Мёбиуса''' как точечное преобразование — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства <math>\widehat{\R}^2 = \R^2 \cup \{\infty\}</math>, отображающее окружность или прямую в окружность или прямую. Имеет место [[точечная аналлагматическая геометрия]];
* '''преобразование Мёбиуса''' как неточечное преобразование — [[касательное преобразование]], основной элемент которого не точка, а [[линейный элемент]] (прямая и точка — частный случай окружности). Имеет место [[круговая аналлагматическая геометрия]].

Для случая <math>n=1</math> одноточечная компактификация прямой представляет собой [[Проективно расширенная числовая прямая|проективно расширенную числовую прямую]]. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

== Проективно расширенная числовая прямая ==
{{дополнить раздел|дата=2022-01-09}}
В случае <math>n=1</math> пространство <math>\R \cup \{\infty\}</math> представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:
:<math>f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}, & x \neq \infty \\ \displaystyle \frac{a}{c}, & x = \infty \end{cases} \quad a,b,c,d \in \mathbb{R}, \quad \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0</math>

== Расширенная комплексная плоскость ==
{{Основная статья|Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости}}
{{переработать раздел|дата=2022-01-09|обс=Название статьи}}
В случае <math>n=2</math> пространство <math>\R^2 \cup \{\infty\}</math> можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении частный случай преобразования Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:
:<math>f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}, & x \neq \infty, \\ \displaystyle \frac{a}{c}, & x = \infty, \end{cases} \quad a, b, c, d \in \mathbb{C}, \quad \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0</math>

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Легко проверяются следующие простые свойства:
# [[Тождественное отображение]] <math>f(z)=z</math> также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить <math>a=d=1,\;b=c=0.</math>
# [[Композиция функций|Суперпозиция]] дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
# Функция, [[обратное отображение|обратная]] дробно-линейной, также будет являться такой.
Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции ([[группа автоморфизмов]] [[сфера Римана|сферы Римана]], именуемая также '''''группой Мёбиуса''''').
Эта группа является [[комплексные числа|комплексно]]-трёхмерной [[группа Ли|группой Ли]].

=== Алгебраические свойства ===
При умножении параметров <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> на ненулевое комплексное число преобразование не меняется.
Говоря формально, группа Мёбиуса является [[проективная группа|проективизацией]] группы <math>GL_2(\mathbb C)</math>, то есть имеет место [[эпиморфизм]]: <math>\left(\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}</math>.

Группа Мёбиуса [[изоморфизм|изоморфна]] [[группа Лоренца|специальной ортохронной группе Лоренца <math>SO^\uparrow(1,\;3)</math>]].

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию <math>ad-bc=1</math>. Тогда, в зависимости от [[След матрицы|следа]] этой матрицы, равного <math>a+d</math>, можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:
* эллиптические: <math>|a+d|<2</math>;
* параболические: <math>a+d=\pm 2</math>;
* гиперболические: <math>|a+d|>2</math>.

=== Геометрические свойства ===
Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации [[параллельный перенос|сдвигов]], [[инверсия (геометрия)|инверсий]], [[U(1)|поворотов]] и [[гомотетия|растяжений]]. Это доказывается просто — произвольное отображение <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> разложимо в суперпозицию четырёх функций:
: <math>f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),</math>
где
: <math>\begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrix}</math>

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на [[сфера Римана|сфере Римана]], в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек <math>z_1,\;z_2,\;z_3</math> существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки <math>w_1,\;w_2,\;w_3</math>. Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют [[ангармоническое отношение]] четырёх точек комплексной плоскости. Если точка <math>w(z)</math> является образом точки <math>z</math>, то выполняется равенство
: <math>\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w(z))(w_2-w_3)},</math>
которое (при условии, что <math>z_i \ne z_j, w_i \ne w_j </math> при <math> i \ne j </math>) однозначно определяет искомое отображение <math>w(z).</math>

=== Преобразование Мёбиуса и [[единичный круг]] ===
Преобразование Мёбиуса
: <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>
является [[автоморфизм]]ом единичного круга <math>\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}</math> тогда и только тогда, когда
<math>a{\bar b}=c{\bar d}</math> и <math>|a|=|d|>|c|</math>.

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все [[конформное отображение|конформные]] автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют [[действительные числа|вещественно]]-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:
: <math>f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1.</math>

=== Примеры ===
Одним из важных примеров дробно-линейной функции является ''преобразование Кэли'':
: <math>W(z)=\frac{z-i}{z+i}.</math>
Оно связывает две канонические области на [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]], отображая верхнюю [[полуплоскость]] <math>{\mathbb C}^+</math> в единичный круг <math>\Delta</math>.

== Пространства старших размерностей ==
{{дополнить раздел|дата=2022-01-09}}
Начиная с <math>n=3</math> любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:
* <math>f(x)=b+A(x-a)</math>
* <math>f(x)=b+\dfrac{A(x-a)}{|x-a|^2}</math>,
где <math>a,b \in \R</math>, <math>A</math> — [[ортогональная матрица]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Альфорс Л.'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986|3=
''[[Альфорс, Ларс|Альфорс Л.]]'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. [[Крушкаль, Самуил Лейбович|С. Л. Крушкаля]]. М.: [[Мир (издательство)|«Мир»]], 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [''Ahlfors Lars V.'' Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
}}
* {{h|''Бердон А.'' Геометрия дискретных групп, 1986|3=
''Бердон А.'' Геометрия дискретных групп: Пер. с англ. [[Солодовников, Александр Самуилович|Л. С. Солодовникова]]. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1986. 300 с., ил. [''Berdon Alan F.'' The Geometry of Discrete Groups. New York·Heidelberg·Berlin: Springer-Verlag, 1983.]
}}
* {{h|''Иванов А. Б.'' Круговое преобразование, 1982|3=
''Иванов А. Б.'' Круговое преобразование // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 3 Коо—Од. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1982. 1184 стб., ил. С. 122.
}}
* {{h|''Крушкаль С. Л.'' Предисловие редактора перевода, 1986|3=
''[[Крушкаль, Самуил Лейбович|Крушкаль С. Л.]]'' Предисловие редактора перевода // ''[[Альфорс, Ларс|Альфорс Л.]]'' Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. [[Крушкаль, Самуил Лейбович|С. Л. Крушкаля]]. М.: [[Мир (издательство)|«Мир»]], 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [''Ahlfors Lars V.'' Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
}}

== Ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY Moebius Transformations Revealed] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY |date=20110216045338 }} на [[YouTube]].
** [https://www.youtube.com/watch?v=hyiEVbN4yqE то же (с русскими субтитрами)] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=hyiEVbN4yqE |date=20150622231908 }}.

{{rq|
{{нет сносок|дата=2013-09-01}}
{{оформить литературу|дата=2013-09-01}}
}}

[[Категория:Элементарные функции комплексной переменной]]
[[Категория:Группы Ли]]
[[Категория:Типы функций]]
[[Категория:Дроби]]

Преобразование Мёбиуса - История изменений

imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: refless → ш:нет сносок (2013-09-01), isbn → ш:оформить литературу (2013-09-01)