imported>43K1C7: отмена правки 152504119 участника ~2026-19685-26 (обс.) Невозможно спутать

2026-03-30T21:18:15Z

отмена правки 152504119 участника ~2026-19685-26 (обс.) Невозможно спутать

Новая страница

{{значения|Предикат (лингвистика)}}
{{Не путать|вина с предикатом|винами с предикатом}}
'''Предика́т''' ({{lang-la|praedicatum}} — заявленное, упомянутое, сказанное) — [[Суждение|утверждение]], высказанное о [[Субъект (логика)|субъекте]]. Субъектом [[Высказывание (логика)|высказывания]] называется то, о чём делается утверждение. В лингвистике субъекту соответствует [[подлежащее]], а предикату — [[сказуемое]].

Предикат в программировании — [[Выражение (информатика)|выражение]], использующее одну или более [[Величина (информатика)|величину]] с результатом [[булев тип|логического типа]].

Далее в этой статье слово предикат используется в значении [[Высказывание (логика)|высказывательной формы]].

== Определение ==
'''Предика́т''' (<math>n</math>-местный, или <math>n</math>-[[арность|арный]]) — это [[функция (математика)|функция]] с множеством значений <math>\{ 0,1 \}</math> (или {ложь, истина}), определённая на множестве <math>M={{M}_{1}}\times {{M}_{2}}\times \ldots \times {{M}_{n}}</math>. Таким образом, каждый набор элементов множества <math>M</math> характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим [[отношение (теория множеств)|отношением]]: если [[Кортеж (информатика)|кортеж]] <math>(m_1, m_2,\dots, m_n)</math> принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на нём 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому [[множество|множеству]].

Предикат — один из элементов логики [[логика первого порядка|первого]] и [[логика высшего порядка|высших порядков]]. Начиная с [[логика второго порядка|логики второго порядка]], в формулах можно ставить [[квантор]]ы по предикатам.

Предикат называют ''тождественно-истинным'' и пишут:
: <math> P\left ( x_1, ..., x_n \right) \equiv 1 </math>
если на любом наборе аргументов он принимает значение <math>1</math>.

Предикат называют ''тождественно-ложным'' и пишут:
: <math> P\left ( x_1, ..., x_n \right) \equiv 0 </math>
если на любом наборе аргументов он принимает значение <math>0</math>.

Предикат называют ''выполнимым'', если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение <math>1</math>.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции [[булева алгебра|булевой алгебры]], например: [[отрицание]], [[импликация]], [[конъюнкция]], [[дизъюнкция]] и т. д.

== Примеры ==
Обозначим предикатом <math>EQ(x, y)</math> отношение равенства («<math>x = y</math>»), где <math>x, y \in \mathbb{R}</math>. В этом случае предикат <math>EQ</math> будет принимать истинное значение для всех равных <math>x</math> и <math>y</math>.

Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ<math>(x, y, z)</math> для отношения «<math>x</math> проживает в городе <math>y</math> на улице <math>z</math>» или ЛЮБИТ<math>(x, y)</math> для «<math>x</math> любит <math>y</math>» для <math>x</math> и <math>y</math> принадлежащих <math>M</math> , где множество <math>M</math> — это множество всех людей.

Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

== Операции над предикатами ==
Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения: истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.
Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

=== Логические операции ===
'''Конъюнкцией''' двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат <math>A\left( x \right)\wedge B\left( x \right)</math>, который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.
Множеством истинности Т предиката <math>A\left( x \right)\wedge B\left( x \right)</math> является пересечение множеств истинности предикатов A(x) — T1 и B(x) — T2, то есть T = T1 ∩ T2.
Например: A(x): «x — чётное число», B(x): «x кратно 3».
A(x) B(x) — «x — чётное число и x кратно 3».
То есть предикат «x делится на 6».

'''Дизъюнкцией''' двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат <math>A\left( x \right)\vee B\left( x \right)</math>, который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях x из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Областью истинности Т предиката <math>A\left( x \right)\vee B\left( x \right)</math> является объединение областей истинности предикатов A(x) — Т1 и B(x) — Т2, то есть Т = Т1 ⋃ Т2.

'''Отрицанием''' предиката A(x) называется новый предикат ¬A(x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях x из T, при которых предикат A(x) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если A(x) принимает значение «истина».

Множеством истинности предиката x X является дополнение T' к множеству T в множестве X.

'''Импликацией''' предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат <math>A\left( x \right)\Rightarrow B\left( x \right)</math>, который является ложным при тех и только тех значениях x из T, при которых A(x) принимает значение «истина», а B(x) — значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Читают: «Если A(x), то B(x)».

Например. A(x): «Натуральное число x делится на 3». B(x): «Натуральное число x делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число x делится на 3, то оно делится и на 4».
Множеством истинности предиката <math>A\left( x \right)\Rightarrow B\left( x \right)</math> является объединение множества T2 — истинности предиката B(x) и дополнения к множеству T1 истинности предиката A(x).

=== Кванторные операции ===
* [[Квантор всеобщности]] <math>\forall</math>
* [[Квантор существования]] <math>\exists</math>
* Квантор существования по переменной <math>x</math><sub>1</sub>

== См. также ==
{{навигация|Викисловарь=предикат}}
* [[Исчисление предикатов]]
* [[Непредикативность]]
* [[Определяющий предикат]]
* [[Предикатив]]

== Литература ==
* {{книга|автор=Гуц А. К.|заглавие=Математическая логика и теория алгоритмов|издательство=Наследие, Диалог-Сибирь|год=2003}}
* {{книга|автор=[[Ершов, Юрий Леонидович|Ершов Ю. Л.]], Палютин Е. А.|заглавие=Математическая логика|издательство=М.: Наука, [[Физматлит]]|год=1987}}
* {{книга|автор=Игошин В. И.|заглавие=Математическая логика и теория алгоритмов|издательство=Academia|год=2008}}
* {{книга|автор=Клини С. К.|заглавие=Математическая логика|издательство=М.: Мир|год=1973}}
* {{книга|автор=Мендельсон Э.|заглавие=Введение в математическую логику|издательство=М.: Наука|год=1971}}
* {{книга|автор=[[Новиков, Пётр Сергеевич|Новиков П. С.]]|заглавие=Элементы математической логики|издательство=М.: Наука|год=1973}}

{{вс}}

[[Категория:Математическая логика]]

Предикат - История изменений

imported>43K1C7: отмена правки 152504119 участника ~2026-19685-26 (обс.) Невозможно спутать