imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5

2023-10-26T02:17:45Z

Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5

Новая страница

'''Преде́льная то́чка''' множества в [[Общая топология|общей топологии]] — это такая точка, любая [[проколотая окрестность]] которой пересекается с этим множеством.

== Определение и типы предельных точек ==
Точка <math>x</math> называется '''предельной точкой''' подмножества <math>A</math> в топологическом пространстве <math>X</math>, если всякая проколотая окрестность точки <math>x</math> имеет с <math>A</math> непустое пересечение.

Точка <math>x</math> называется '''точкой накопления''' подмножества <math>A</math>, если всякая окрестность точки <math>x</math> имеет с <math>A</math> бесконечное число общих точек. Для [[Аксиомы отделимости|T<sub>1</sub>-пространств]] (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты), понятия предельная точка и точка накопления равносильны.

Точка <math>x</math> называется '''[[Точка конденсации|точкой конденсации]]''' подмножества <math>A</math>, если всякая окрестность точки <math>x</math> содержит несчётное множество точек <math>A</math>.

Точка <math>x</math> называется '''точкой полного накопления''' подмножества <math>A</math>, если для всякой окрестности <math>U</math> точки <math>x</math> [[Мощность множества|мощность]] пересечения <math>U\cap A</math> равна мощности множества <math>A</math>.

== Связанные понятия и свойства ==
* Точка <math>x</math> называется '''точкой прикосновения''' подмножества <math>A</math> в топологическом пространстве <math>X</math>, если всякая окрестность точки <math>x</math> имеет с <math>A</math> непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества <math>A</math> составляет его [[Замыкание (геометрия)|замыкание]] <math>\bar A</math>.

* [[изолированная точка|Изолированной]] называется такая точка <math>x \in A</math>, у которой есть окрестность, не имеющая с <math>A</math> других общих точек, кроме <math>x</math>. Подмножество в <math>A</math>, состоящее из одной этой точки, является открытым в <math>A</math> (в [[индуцированная топология|индуцированной топологии]]).

* Таким образом, все точки прикосновения любого множества <math>A \subset X</math> (то есть точки замыкания <math>\bar A</math>) делятся на два вида: предельные и изолированные точки <math>A</math>. Вторые составляют подмножество <math>A</math>, первые же могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.

* Совокупность всех предельных точек множества <math>A</math> называется его '''произво́дным мно́жеством''' и обозначается <math>A'</math>. Все предельные точки множества входят в его замыкание <math>\bar A</math>. Более того, справедливо равенство: <math>\bar A = A \cup A'</math>, из которого легко получается следующий '''критерий замкнутости подмножеств''': Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

* Если <math>x</math> — предельная точка множества <math>A</math>, то существует [[Направленность (математика)|направление]] точек из <math>A</math>, сходящееся к <math>x</math>.

* В [[метрическое пространство|метрических пространствах]], если <math>x</math> — предельная точка множества <math>A</math>, то существует [[последовательность]] точек из <math>A</math> сходящаяся к <math>x</math>. Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются '''пространствами Фреше — Урысона'''.
* Топологическое пространство <math>X</math> [[компактное пространство|компактно]] тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в <math>X</math>.

* Топологическое пространство <math>X</math> [[Счетно-компактное пространство|счётно компактно]] тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в <math>X</math>. Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.
: (В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

* Замкнутое множество в [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовом пространстве]] называется [[совершенное множество|совершенным]], если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, [[множество Кантора]].

== Примеры ==
* Рассмотрим множество [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math> со [[Стандартная топология вещественной прямой|стандартной топологией]], порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
** <math>(a,b)' = [a,b];</math>
** <math>\mathbb{Q}' = \mathbb{R},</math> где <math>\mathbb{Q}</math> — множество [[Рациональное число|рациональных чисел]];
** <math>\mathbb{Z}' = \varnothing,</math> где <math>\mathbb{Z}</math> — множество [[Целое число|целых чисел]];
* Пусть <math>\omega_1</math> — [[Первое несчётное порядковое число|первый несчётный]] [[ординал]]. Рассмотрим <math>[0, \omega_1]</math> — ординал <math>\omega_1 + 1</math> с [[Порядковая топология|порядковой топологией]]. Точка <math>\omega_1</math> является предельной точкой множества <math>[0, \omega_1)</math>, однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к <math>\omega_1</math>.

== Предельная точка числового множества ==
В частности, '''предельной точкой''' числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка [[Числовая ось|числовой прямой]], в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества <math>-\infty</math>, если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую [[последовательность]] с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой <math>+\infty</math><ref name="ilyin">{{книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 3. Теория пределов
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный = {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 92—105
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
|archive-date = 2015-06-23
|archive-url = https://web.archive.org/web/20150623071551/http://sci-lib.com/book000401.html
}}</ref>.

'''''Верхняя предельная точка''''' числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

'''''Нижняя предельная точка''''' числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

=== Свойства ===
* У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве [[Вещественное число|вещественных чисел]]). Если добавить в множество вещественных чисел <math>-\infty</math> и <math>+\infty</math>, то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.

* Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

== Предельная точка числовой последовательности ==
'''''Предельная точка''''' [[Последовательность|последовательности]] — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности<ref name="ilyin" />.
: <math>x</math> — предельная точка последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow</math>
:: <math>\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists X \subseteq \N \colon \left| X \right| = \alef_0 \land \forall i \in X \colon \left| x_i - x\right| < \varepsilon</math>

Наибольшая предельная точка последовательности называется её '''''[[Верхний предел|верхним пределом]]''''', а наименьшая предельная точка — '''''[[Нижний предел|нижним пределом]]'''''.

Иногда во множество возможных предельных точек включают «<math>-\infty</math>» и «<math>+\infty</math>». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «<math>-\infty</math>» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «<math>+\infty</math>» является её предельной точкой<ref name="ilyin" />. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

=== Свойства ===
* Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить [[подпоследовательность]], сходящуюся к этой точке (то есть точка является [[Частичный предел последовательности|частичным пределом последовательности]]).
*: <math>x</math> — предельная точка последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow \exists \left\{ k_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \forall i \in \N \colon k_{i} < k_{i + 1} \land \lim_{n \to \infty} x_{k_n} = x</math>
*: Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.
* Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.
*: <math>x, x'</math> — предельные точки последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow x = x'</math>
* Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её [[Предел последовательности|пределом]].
*: <math>x</math> — предельная точка последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = x</math>
* Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
* У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо [[Вещественное число|вещественная]], либо [[бесконечность]]).

=== Примеры ===
* У последовательности из [[1 (число)|единиц]] <math>\left\{ 1 \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> существует единственная предельная точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
* У последовательности <math>\left\{ 1 / n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> существует единственная предельная точка 0.
* У последовательности [[Натуральное число|натуральных чисел]] <math>\left\{ n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка <math>+\infty</math>).
* У последовательности <math>\left\{ \left( -1 \right)^n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> существуют две предельные точки: −1 и +1.
* У последовательности из всех [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\left\{ q_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

== Предельная точка направления ==
Пусть <math>\left\{x_\alpha\right\}_{\alpha \in \Alpha}</math> — [[Направленность (математика)|направление]] элементов топологического пространства <math>X</math>. Тогда <math>x</math> называется '''''предельной точкой''''' направления, если для любой окрестности <math>U</math> точки <math>x</math> и для любого <math>\alpha \in \Alpha</math> найдётся индекс <math>\beta \in \Alpha</math> такой что <math>\beta \geqslant \alpha</math> и <math>x_\beta \in U</math>

=== Свойства ===
* Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
** В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует [[Направленность (математика)|поднаправление]], сходящееся к этой точке.
** Если каждая точка топологического пространства обладает счётной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.

=== Примеры ===
Пусть <math>A = [0,1)</math> — направлено по возрастанию. У направления <math>\left\{\alpha\right\}_{\alpha \in A}</math> существует единственная предельная точка <math>{1}</math> в топологическом пространстве <math>[0, 1]</math>.

== См. также ==
* [[Изолированная точка]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Энгелькинг, Р.|заглавие=Общая топология|место={{М.}}|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1986|страниц=752|ref=Энгелькинг}}
* {{книга|автор=[[Канторович, Леонид Витальевич|Л.В. Канторович]], [[Акилов, Глеб Павлович|Г.П. Акилов]]|заглавие=Функциональный анализ|место={{М.}}|издательство=Наука|год=1984|страниц=752|ref=Канторович}}

[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Пределы]]

Предельная точка - История изменений

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5