imported>Bezik: откат правок 85.89.127.21 (обс.) к версии Bezik

2026-03-05T02:07:34Z

откат правок 85.89.127.21 (обс.) к версии Bezik

Новая страница

'''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — теоретико-числовое утверждение о том, что для любого натурального <math>n \geqslant 2</math> найдётся [[простое число]] <math>p</math> в интервале <math>(n, 2n)</math>.

Сформулирован в качестве [[гипотеза (математика)|гипотезы]] в [[1845 год в науке|1845 году]] французским математиком [[Бертран, Жозеф Луи Франсуа|Бертраном]] (проверившим её до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>) и доказан в [[1852 год в науке|1852 году]]{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}} [[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёвым]]. В [[1919 год в науке|1919 году]] [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Рамануджан]] нашёл более простое доказательство и доказал, что количество простых чисел в интервале <math>(n; 2n)</math> можно ограничить снизу неубывающей последовательностью, которая стремится к бесконечности, такой что в [[Простые числа Рамануджана|простых числах Рамануджана]] достигается равенство. [[Эрдёш, Пол|Эрдёш]] в [[1932 год в науке|1932 году]] ещё более упростил доказательство.

[[Теорема Сильвестра о простых числах]] ([[1892 год в науке|1892]]) обобщает постулат Бертрана: согласно её утверждению для <math>n \geqslant 2k</math> среди чисел <math>n-k+1, \dots, n-1, n</math> всегда существует число с простым делителем больше <math>k</math>; при <math>n=2k</math> оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай. Из [[Теорема о распределении простых чисел|теоремы о распределении простых чисел]] следует, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует число <math>n_0</math> такое, что для любых <math>n \geqslant n_0</math> существует простое число <math>p</math>, удовлетворяющее <math>n < p < (1 + \varepsilon) n</math>, более того, для фиксированного <math>\varepsilon</math> количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом <math>n</math><ref>G. H. Hardy and E. M. Wright, ''An Introduction to the Theory of Numbers'', 6th ed., Oxford University Press, 2008, p. 494.</ref>, в частности, например, при <math>n\geqslant25</math> всегда найдётся простое число между <math>n</math> и <math>\frac{6}{5}n</math><ref>{{публикация|статья|автор=J. Nagura|заглавие=On the interval containing at least one prime number|издание=Proceedings of the Japan Academy, Series A|год=1952|volume=28|pages=177–181|doi=10.3792/pja/1195570997}}</ref> — соответственно, постулат Бертрана естественным образом следует из неё.

== Связанные гипотезы ==
[[Гипотеза Лежандра]] гласит, что для любого <math>n \geqslant 2</math> найдётся [[простое число]] <math>p</math> в интервале <math>n^2 < p < (n + 1)^2</math>. [[Гипотеза Оппермана]] и [[гипотеза Андрицы]] задают такой же порядок роста интервала, включающего хотя бы одно простое число.

Наиболее сильной является [[гипотеза Крамера]], согласно которой:
: <math>p_{n+1} - p_n = O(\ln^2 p_n)</math>.

По состоянию {{на|2026}} все эти гипотезы не доказаны и не опровергнуты.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |ссылка = https://archive.org/details/libgen_00069640 |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Простое число |страницы = [https://archive.org/details/libgen_00069640/page/n262 262]-263 |ref = Энциклопедический словарь юного математика}}
* [http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.]
[[Категория:Теоремы о простых числах|Бертрана]]

Постулат Бертрана - История изменений

imported>Bezik: откат правок 85.89.127.21 (обс.) к версии Bezik