https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?action=history&feed=atom&title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82
Полный квадрат - История изменений
2026-07-17T05:11:53Z
История изменений этой страницы в вики
MediaWiki 1.45.3
https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82&diff=52153&oldid=prev
imported>Alex NB OT: унификация языковых шаблонов
2025-11-15T11:11:36Z
<p>унификация языковых шаблонов</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>'''Полный квадрат''', также '''точный квадрат''' или '''квадратное число''', — число, являющееся [[квадрат (алгебра)|квадратом]] некоторого [[целое число|целого числа]]. Иными словами, квадратом является целое число, [[квадратный корень]] из которого извлекается нацело. [[Геометрия|Геометрически]] такое число может быть представлено в виде [[Площадь (геометрия)|площади]] [[Квадрат (геометрия)|квадрата]] с целочисленной стороной.<br />
<br />
Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.<br />
<br />
Квадратное число входит в категорию [[Фигурные числа|классических фигурных чисел]].<br />
<br />
== Примеры ==<br />
[[Числовая последовательность|Последовательность]] квадратов начинается так:<br />
: 0, 1, {{nums|link=yes|4|9|16|25|36|49|64|81|100|121|144|169|196}}, {{nums|link=yes|225|256|289|324|361|400|441|484|529|576|625|676|729}}, {{nums|link=nrl|784|841|900|961|1024|1089|1156|1225|1296|1369|1444|1521|1600}}, {{nums|1681|1764|1849|1936|2025|2116|2209|2304|2401|2500}},&nbsp;… ({{OEIS|A000290}})<br />
<br />
{| class="standard" style="text-align: right"<br />
|+ Таблица квадратов<br />
! !! _0 !! _1 !! _2 !! _3 !! _4 !! _5 !! _6 !! _7 !! _8 !! _9<br />
|-<br />
! 0_<br />
| 0<br />
| 1<br />
| 4<br />
| 9<br />
| 16<br />
| 25<br />
| 36<br />
| 49<br />
| 64<br />
| 81<br />
<br />
|-<br />
! 1_<br />
| 100<br />
| 121<br />
| 144<br />
| 169<br />
| 196<br />
| 225<br />
| 256<br />
| 289<br />
| 324<br />
| 361<br />
<br />
|-<br />
! 2_<br />
| 400<br />
| 441<br />
| 484<br />
| 529<br />
| 576<br />
| 625<br />
| 676<br />
| 729<br />
| 784<br />
| 841<br />
<br />
|-<br />
! 3_<br />
| 900<br />
| 961<br />
| 1024<br />
| 1089<br />
| 1156<br />
| 1225<br />
| 1296<br />
| 1369<br />
| 1444<br />
| 1521<br />
<br />
|-<br />
! 4_<br />
| 1600<br />
| 1681<br />
| 1764<br />
| 1849<br />
| 1936<br />
| 2025<br />
| 2116<br />
| 2209<br />
| 2304<br />
| 2401<br />
<br />
|-<br />
! 5_<br />
| 2500<br />
| 2601<br />
| 2704<br />
| 2809<br />
| 2916<br />
| 3025<br />
| 3136<br />
| 3249<br />
| 3364<br />
| 3481<br />
<br />
|-<br />
! 6_<br />
| 3600<br />
| 3721<br />
| 3844<br />
| 3969<br />
| 4096<br />
| 4225<br />
| 4356<br />
| 4489<br />
| 4624<br />
| 4761<br />
<br />
|-<br />
! 7_<br />
| 4900<br />
| 5041<br />
| 5184<br />
| 5329<br />
| 5476<br />
| 5625<br />
| 5776<br />
| 5929<br />
| 6084<br />
| 6241<br />
<br />
|-<br />
! 8_<br />
| 6400<br />
| 6561<br />
| 6724<br />
| 6889<br />
| 7056<br />
| 7225<br />
| 7396<br />
| 7569<br />
| 7744<br />
| 7921<br />
<br />
|-<br />
! 9_<br />
| 8100<br />
| 8281<br />
| 8464<br />
| 8649<br />
| 8836<br />
| 9025<br />
| 9216<br />
| 9409<br />
| 9604<br />
| 9801<br />
|}<br />
<br />
== Представления и свойства ==<br />
Квадрат натурального числа <math>n</math> можно представить в виде суммы первых <math>n</math> [[нечётное число|нечётных чисел]]:<br /><br />
:1: <math>1 = 1</math><br /><br />
:2: <math>4 = 1 + 3</math><br /><br />
:...<br /><br />
:7: <math>49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13</math><br /><br />
:...<br /><br />
<br />
Ещё один способ представления квадрата натурального числа:<br /><br />
<math>n^2 = 1 + (1 + 2) + (2 + 3) + ... + [(n - 1) + n]</math><br /><br />
Пример:<br /><br />
:1: <math>1 = 1</math><br /><br />
:2: <math>4 = 1 + 1 + 2 </math><br /><br />
:...<br /><br />
:4: <math>16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4</math><br /><br />
:...<br />
<br />
[[Сумма (математика)|Сумма]] квадратов первых <math>n</math> натуральных чисел вычисляется по формуле<ref>{{cite web|title=Некоторые конечные числовые ряды|url=http://www.math24.ru/%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5-%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%8B.html|website=Math24.ru|access-date=2019-06-14|archive-date=2019-06-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20190614200601/http://www.math24.ru/%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5-%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%8B.html|url-status=live}}</ref>:<br />
: <math>\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math><br />
{{Вывод|<br />
<big>'''Способ 1, метод приведения:'''</big><br /><br />
:Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до <math>n+1</math>:<br /><br />
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=0}^n k^3 + \sum_{k=0}^n 3k^2 + \sum_{k=0}^n 3k + \sum_{k=0}^n 1 = \sum_{k=0}^n k^3 +3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 </math><br /><br />
:Получим:<br /><br />
:<math>(n+1)^3 = 3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 = 3\sum_{k=0}^n k^2 + 3\frac{(n+1)n}{2} + (n + 1)</math><br /><br />
:Умножим на 2 и перегруппируем:<br /><br />
:<math>6\sum_{k=0}^n k^2 = 2(n + 1)^3 - 3(n + 1)n - 2(n + 1) = (n + 1)(2(n + 1)^2 - 3n - 2) = (n + 1)(2n^2 + n) = n(n + 1)(2n + 1)</math><br /><br />
:<math>\sum_{k=0}^n k^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(В рассуждениях использована формула: <math>\sum_{k=0}^n k = \frac{(n + 1)n} {2}</math>, вывод которой аналогичен приведенному)<br /><br />
<big>'''Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:'''</big><br /><br />
:Заметим, что сумма функций степени <math>N</math> может быть выражена как функция <math>N+1</math> степени. Исходя из этого факта предположим:<br /><br />
:<math>\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D</math><br /><br />
:<math>f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; f(2) = 5 ; f(3) = 14</math><br /><br />
:Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:<br /><br />
:<math><br />
\begin{cases}<br />
0A + 0B + 0C + D = 0 \\<br />
A + B + C + D= 1 \\<br />
8A + 4B + 2C + D = 5\\<br />
27A + 9B + 3C + D = 14 \\<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
:Решив её, получим <math>A = \frac{1} {3}, B = \frac{1} {2}, C = \frac{1} {6}, D = 0</math><br /><br />
:Таким образом:<br /><br />
:<math>\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = \frac{1} {3}n^3 + \frac{1} {2}n^2 + \frac{1} {6}n + 0 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math><br />
}}<br />
<br />
[[Ряд обратных квадратов]] сходится<ref>{{статья |автор=Кохась К. П. |заглавие=Сумма обратных квадратов |ссылка=http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=mp&paperid=146&what=fullt&option_lang=rus |издание=Математическое просвещение |год=2004 |выпуск=8 |страницы=142–163 }}</ref>:<br />
:: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} +\dots = \frac{\pi^2}{6}</math><br />
<br />
Четыре различных квадрата не могут образовывать [[Арифметическая прогрессия|арифметическую прогрессию]].<ref> K. Brown. [http://mathpages.com/home/kmath044/kmath044.htm No Four Squares In Arithmetic Progression]{{ref|en}}</ref> Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: [[1 (число)|1]], [[25]], [[49]].<br />
<br />
Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов ([[теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов]]).<br />
<br />
[[4900 (число)|4900]] — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.<br />
<br />
Суммы пар последовательных [[треугольное число|треугольных чисел]] являются квадратными числами.<br />
<br />
В [[десятичная система счисления|десятичной записи]] квадратные числа имеют следующие свойства:<br />
* Последняя цифра квадрата в [[десятичная система счисления|десятичной записи]] может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 ([[квадратичный вычет|квадратичные вычеты]] по модулю 10).<br />
* Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нулей.<br />
* Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.<br />
* Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:<br />
<br />
:{| class="standard" style="text-align: center"<br />
!width="50%"| последняя<br />цифра<br />
!width="50%"| предпоследняя<br />цифра<br />
|-<br />
| 0 || 0<br />
|-<br />
| 5 || 2<br />
|-<br />
| 1, 4, 9 || чётная<br />
|-<br />
| 6 || нечётная<br />
|}<br />
<br />
== Геометрическое представление ==<br />
{| class="wikitable" align=center<br />
! colspan="2"|1<br />
|-----<br />
| style="padding:0 16px 0 0" |[[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />
| style="padding:0 0 0 16px" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|x]]<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" align=center<br />
! colspan="2"|4<br />
|-----<br />
| style="padding:0 16px 0 0" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />
| style="padding:0 0 0 16px" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" align=center<br />
! colspan="2"|9<br />
|-----<br />
| style="padding:0 16px 0 0" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />
| style="padding:0 0 0 16px" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" align=center<br />
! colspan="2"|16<br />
|-----<br />
| style="padding:0 16px 0 0" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />
| style="padding:0 0 0 16px" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" align=center<br />
! colspan="2"|25<br />
|-----<br />
| style="padding:0 16px 0 0" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]] [[Файл:RedDotX.svg|16px|*]]<br />
| style="padding:0 0 0 16px" |[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Файл:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />
|}<br />
<br />
== См. также ==<br />
* [[Многоугольное число]]<br />
* [[Автоморфное число]]<br />
* [[Квадратное пирамидальное число]]<br />
<br />
== Примечания ==<br />
{{примечания}}<br />
<br />
== Литература ==<br />
* {{книга |автор=Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. |ref=За страницами учебника математики<br />
|заглавие=За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия |ссылка=https://archive.org/details/isbn_5090065756 |isbn=5-09-006575-6<br />
|место=М. |издательство=Просвещение |год=1996 |страницы=[https://archive.org/details/isbn_5090065756/page/n31 30] |страниц=320}}<br />
* {{книга |автор=Деза Е., Деза М. |заглавие=Фигурные числа |ref=Деза Е., Деза М.<br />
|место=М. |издательство=МЦНМО |год=2016 |страниц=349 |isbn=978-5-4439-2400-7 }} <br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_40_7873.pdf Фигурные числа] {{Wayback|url=http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_40_7873.pdf |date=20181123132317 }}<br />
* [http://mathworld.wolfram.com/topics/FigurateNumbers.html Figurate Numbers] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/topics/FigurateNumbers.html |date=20190610145344 }} на сайте MathWorld{{ref|en}}<br />
<br />
{{Фигурные числа}}<br />
<br />
[[Категория:Фигурные числа]]</div>
imported>Alex NB OT