imported>Fuxx: cyrlat

2024-11-10T14:15:52Z

cyrlat

Новая страница

{{нет сносок|дата=2019-11-27}}
'''По́ле Ки́ллинга''' (в теории относительности часто просто '''ве́ктор Ки́ллинга''') — [[векторное поле]] скоростей (локальной) однопараметрической [[группа (математика)|группы]] [[изометрия (математика)|движений]] [[риманово многообразие|риманова]] или [[псевдориманово многообразие|псевдориманова многообразия]].

Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задаёт непрерывное однопараметрическое семейство движений многообразия, то есть преобразований, относительно которых [[метрический тензор]] остаётся инвариантным.

В частности, если метрический тензор <math>g_{\mu\nu}</math> в некоторой системе не зависит от одной из координат <math>x^\mu</math>, тогда векторное поле вдоль этой координаты <math>\hat{e}_\mu(x) \equiv \partial_\mu</math> будет полем Киллинга.

Векторы Киллинга в [[физика|физике]] указывают на [[симметрия|симметрию]] физической модели и помогают найти сохраняющиеся величины, такие как [[энергия]], [[импульс]] или [[спин]]. В [[общая теория относительности|теории относительности]], например, если метрический тензор не зависит от времени, то в [[пространство-время|пространстве-времени]] существует времениподобный вектор Киллинга, с которым связана сохраняющаяся величина — энергия гравитационного поля.

Название дано в честь немецкого математика [[Киллинг, Вильгельм|Вильгельма Киллинга]], открывшего [[группа Ли|группы Ли]] и многие их свойства параллельно с [[Софус Ли|Софусом Ли]].

== Определение ==
Векторное поле <math>X</math> на <math>M</math> называется полем Киллинга если оно удовлетворяет следующему уравнению:
: <math>\mathcal{L}_X g = 0,</math>
где <math>\mathcal{L}_X </math> — [[производная Ли]] по направлению <math>X</math>, a <math>g</math> — [[метрический тензор|риманова метрика]] на <math>M</math>.

Это уравнение можно переписать через [[связность Леви-Чивиты]]:
: <math>g(\nabla_Y X, Z) + g(Y, \nabla_Z X) = 0</math>

для любых полей <math>Y</math> и <math>Z</math>.

В терминах локальных координат:
: <math>\nabla_i X_j + \nabla_j X_i = 0.</math>

== Свойства ==
* Векторное поле <math>X</math> является полем Киллинга тогда и только тогда, когда сужение <math>X</math> на любую геодезическую является [[поле Якоби|полем Якоби]].
* Для задания поля Киллинга достаточно указать его значение, плюс значения всех его ([[ковариантная производная|ковариантных]]) производных первого порядка, всего в одной точке. Из этой точки векторное поле может быть продолжено на всё многообразие.
* [[алгебра Ли|Скобка Ли]], или коммутатор, двух полей Киллинга даёт опять поле Киллинга. Таким образом, поля Киллинга образуют [[подалгебра|подалгебру]] бесконечномерной [[алгебра Ли|алгебры Ли]] всех (дифференцируемых) векторных полей на [[Многообразие|многообразии]]. Эта подалгебра является алгеброй Ли группы движений многообразия.
* [[Линейная комбинация]] полей Киллинга тоже является полем Киллинга.
** Иллюстрация сложения полей Киллинга на плоскости. Поле вращений вокруг начала координат + поле [[параллельный перенос|параллельного переноса]] вдоль оси ''y'' = поле вращений вокруг центра, смещённого относительно начала координат вдоль оси ''x'':<br />[[Файл:AddKillingFields.gif]]<br />Все три поля являются полями движений плоскости.
* Если [[кривизна Риччи]] [[компактное множество|компактного]] многообразия отрицательна, то на нём нет нетривиальных (то есть не равных тождественно нулю) полей Киллинга.
* Если [[секционная кривизна]] [[компактное множество|компактного]] многообразия положительная и размерность чётная, то поле Киллинга должно иметь нуль.

== Примеры ==
* На евклидовой плоскости существует три [[линейная независимость|линейно независимых]] поля Киллинга:
:: <math>\xi_1 = \mathbf{e}_x</math>, <math>\xi_2 = \mathbf{e}_y</math>, <math>\xi_3 = -x\mathbf{e}_y + y\mathbf{e}_x.</math>
: Первые два поля Киллинга отвечают [[Однопараметрическая подгруппа|однопараметрическим подгруппам]] сдвигов вдоль осей <math>x</math> и <math>y</math>, а последнее — подгруппе вращений вокруг начала координат. Различные комбинации из этих трёх подгрупп исчерпывают всевозможные [[движение (геометрия)|движения]] плоскости.
* В трёхмерном евклидовом пространстве <math>\R^3</math> существует шесть линейно независимых полей Киллинга:
:: <math>\xi_x = \mathbf{e}_x</math>, <math>\xi_y = \mathbf{e}_y</math>, <math>\xi_z = \mathbf{e}_z,</math>
:: <math>\zeta_x = -y\mathbf{e}_z + z\mathbf{e}_y,</math>
:: <math>\zeta_y = -z\mathbf{e}_x + x\mathbf{e}_z,</math>
:: <math>\zeta_z = -x\mathbf{e}_y + y\mathbf{e}_x.</math>
* Последние три поля <math>\zeta_x</math>, <math>\zeta_y</math> и <math>\zeta_z</math> являются также полями Киллинга на сфере <math>\mathbf{S}^2</math> (это становится очевидным если рассматривать её погруженной в [[трёхмерное пространство]]).
* Однолистный [[гиперболоид]], задаваемый уравнением <math>x^2 + y^2 - z^2 = 1</math>, погружённый в [[пространство Минковского]] с [[метрический тензор|метрикой]] <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 - dz^2</math>, имеет три линейно независимых поля Киллинга, подобных полям Киллинга на сфере:
:: <math>\zeta_x = y\mathbf{e}_z + z\mathbf{e}_y,</math>
:: <math>\zeta_y = z\mathbf{e}_x + x\mathbf{e}_z,</math>
:: <math>\zeta_z = y\mathbf{e}_x - x\mathbf{e}_y.</math>

== Вариации и обобщения ==
* '''Конформные поля Киллинга''', определяются формулой
:: <math>\mathcal{L}_X g = \lambda g</math>
: для некоторого скаляра <math>\lambda</math>. Они являются производными однопараметрических семейств [[конформное отображение|конформных отображений]].
* '''Конформные тензорные поля Киллинга''': симметричные [[тензорное поле|тензорные поля]] <math>T</math>, такие что [[Симметризация и антисимметризация тензора|симметризация]] <math>\nabla T</math> равна нулю.
* '''Антисимметричное тензорное поле Киллинга — Яно''', часто представляемое, как «корень квадратный из симметричного тензорного поля Киллинга». Симметрия, описываемая тензорами Киллинга и Киллинга — Яно, существует во [[Чёрная дыра#Решение Керра|вращающихся чёрных дырах Керра]], а также некоторых их обобщениях. Наличие подобной симметрии объясняет, почему разделяются переменные в уравнениях движения классической и квантовой [[Релятивистская механика|релятивистской механики]]: [[Уравнение Гамильтона — Якоби|Гамильтона — Якоби]], [[Волновое уравнение|волновом]], [[Уравнение Клейна — Гордона|Клейна — Гордона]], [[Уравнение Дирака|Дирака]] и др.<ref>[[Гаина, Алексей Борисович|Алексей Борисович Гаина]]. Квантовые частицы в полях Эйнштейна — Максвелла/Кишинев. Штиинца. 1989.</ref>
* '''[[Тензор Киллинга|Тензорное поле Киллинга]]'''.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Рашевский П. К. ''Риманова геометрия и тензорный анализ'' — М.: Наука, 1967.
* Эйзенхарт Л. П. ''Риманова геометрия'' — М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
* Хелгасон С. ''Дифференциальная геометрия и симметрические пространства'' — М.: Мир, 1964.
* Кобаяси Ш., Номидзу К. ''Основы дифференциальной геометрии'' — М.: Наука, 1981.

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]
[[Категория:Структуры на многообразиях]]

Поле Киллинга - История изменений

imported>Fuxx: cyrlat