imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T07:53:49Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

{{другие значения|Поле}}
'''По́ле''' в [[Общая алгебра|общей алгебре]] — [[множество]], для элементов которого определены [[Операция (математика)|операции]] [[Сложение#Общее сложение|сложения]], взятия [[Противоположное число|противоположного значения]], умножения и [[Деление (математика)#Деление в алгебре|деления]] (кроме [[Деление на ноль|деления на ноль]]), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных [[Арифметические операции|числовых операций]]. Простейшим полем является поле [[Рациональное число|рациональных чисел]] (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из [[Арифметика|арифметики]], определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения [[Теория полей|теории полей]]. [[Рациональное число|Рациональные]], [[Вещественное число|вещественные]], [[Комплексное число|комплексные]] числа, [[Рациональная функция|рациональные функции]]<ref>{{Книга|автор=Лев Дмитриевич Кудрявцев|заглавие=Курс математического анализа. Том 1}}</ref> и [[Кольцо вычетов|вычеты по модулю]] заданного [[Простое число|простого числа]] образуют поля{{Переход|Примеры полей}}.

== История ==
В рамках понятия о поле неявно [[Теория Галуа|работал]] ещё [[Галуа, Эварист|Галуа]] в [[1830 год в науке|1830 году]], с использованием идеи [[Алгебраическое расширение|алгебраического расширения]] поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в [[Корень (математика)|радикалах]]. Позднее при помощи [[теория Галуа|теории Галуа]] была доказана невозможность решения таких классических задач, как [[квадратура круга]], [[трисекция угла]] и [[удвоение куба]].

Явное определение понятия поля относят к [[Дедекинд, Рихард|Дедекинду]] (1871 год), который использовал немецкий термин ''Körper'' (тело). Термин «поле» ({{lang-en|field}}) ввёл в [[1893 год в науке|1893 году]] американский математик [[Элиаким Гастингс Мур]]<ref>{{cite web|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)|url=http://jeff560.tripod.com/f.html|access-date=2019-09-28|archive-date=2021-01-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20210124165827/https://jeff560.tripod.com/f.html|url-status=live}}</ref>.

Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в [[Линейная алгебра|линейной алгебре]] как структура, универсализирующая понятие [[скаляр]]а, и основная структура линейной алгебры — [[линейное пространство]] — определяется как конструкция над произвольным полем. Также [[теория полей]] в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как [[алгебраическая геометрия]] и [[алгебраическая теория чисел]].

== Формальные определения ==
Формально, '''поле''' — [[Алгебра (универсальная алгебра)|алгебра]] над множеством <math>F</math>, образующая [[Абелева группа|коммутативную группу]] по сложению <math>+</math> над <math>F</math> с [[Нейтральный элемент|нейтральным элементом]] <math>\boldsymbol{0}</math> и коммутативную группу по умножению <math>*</math> над ненулевыми элементами <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math>, при выполняющемся свойстве [[дистрибутивность|дистрибутивности]] умножения относительно сложения. Подразумевается также применимость операции <math>*</math> к нулевому элементу по сложению с сохранением свойства дистрибутивности на всём множестве <math>F</math>.

Если раскрыть определение, то множество <math>F</math> с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения <math>+</math> и умножения <math>*</math> (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, то есть <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>) называется '''полем''' <math>\left\langle F,+,*\right\rangle</math>, если выполнены следующие аксиомы:
# Коммутативность сложения: <math> \forall a,b\in F\quad a+b=b+a </math>.
# Ассоциативность сложения: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)</math>.
# Существование нулевого элемента: <math>\exists \boldsymbol{0}\in F\colon \forall a\in F\quad a+\boldsymbol{0}=a</math>.
# Существование противоположного элемента: <math>\forall a\in F\;\exists (-a)\in F \colon a+(-a)=\boldsymbol{0}</math>.
# Коммутативность умножения: <math>\forall a,b\in F\quad a*b=b*a</math>.
# Ассоциативность умножения: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)</math>.
# Существование [[Единица (алгебра)|единичного элемента]]: <math>\exists e\in F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}\colon \forall a\in F\quad a*e=a </math>.
# Существование обратного элемента для ненулевых элементов: <math>(\forall a\in F\colon a\neq \boldsymbol{0})\;\exists a^{-1}\in F \colon a*a^{-1}=e</math>.
# Дистрибутивность умножения относительно сложения: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)</math>.
Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению <math>+</math> над <math>F</math>; аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению <math>*</math> над <math>F\setminus \{\boldsymbol{0}\}</math>; аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1—7 и 9 — это определение коммутативного [[коммутативное кольцо|кольца]] с единицей.

Все описанные выше аксиомы, за исключением коммутативности умножения, также соответствуют определению [[Тело (алгебра)|тела]].

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как [[коммутативное кольцо]], являющееся [[Тело (алгебра)|телом]]. Иерархия структур следующая:

: '''[[Коммутативное кольцо|Коммутативные кольца]]''' ⊃ '''[[Область целостности|Области целостности]]''' ⊃ '''[[факториальное кольцо|Факториальные кольца]]''' ⊃ '''[[область главных идеалов|Области главных идеалов]]''' ⊃ '''[[евклидово кольцо|Евклидовы кольца]]''' ⊃ '''Поля.'''

== Связанные определения ==
Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: ''подполем'' называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, [[Расширение поля|расширением]] — поле, содержащее данное в качестве подполя.

''Гомоморфизм полей'' вводится также естественным образом: как отображение <math>f</math>, такое что <math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>, <math>f(ab)=f(a)\cdot f(b)</math> и <math>f(1)=1</math>. В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как <math>f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1</math>, следовательно, [[ядро (алгебра)|ядро]] любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является [[вложение]]м.

{{Якорь|Простое поле}}''Характеристика поля'' — то же, что и [[характеристика кольца]]: наименьшее положительное целое число <math>n</math> такое, что сумма <math>n</math> копий единицы равна нулю:
: <math>\underbrace{1 + \dots + 1}_n = n 1 = 0.</math>

Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия ''простого поля'' — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

[[Поле Галуа|Поля Галуа]] — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя [[Галуа, Эварист|Эвариста Галуа]].

== Свойства ==
* [[Характеристика (алгебра)|Характеристика]] поля всегда <math>0</math> или [[простое число]].
** Поле характеристики <math>0</math> содержит подполе, [[изоморфизм|изоморфное]] полю [[рациональные числа|рациональных чисел]] <math>\mathbb Q</math>.
** Поле простой характеристики <math>p</math> содержит подполе, изоморфное полю вычетов <math>\Z_p</math>.
* Количество элементов в конечном поле всегда равно <math>p^n</math> — степени простого числа.
** При этом для любого числа вида <math>p^n</math> существует единственное (с точностью до [[Изоморфизм (математика)|изоморфизма]]) поле из <math>p^n</math> элементов, обычно обозначаемое <math>\mathbb{F}_{p^n}</math>.
* В поле нет [[Делитель нуля|делителей нуля]].
* Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является [[циклическая группа|циклической]]. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля <math>\mathbb F_q</math> изоморфна <math>\mathbb Z_{q-1}</math>.
* С точки зрения [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]] , поля — это точки, потому что их [[спектр кольца|спектр]] состоит ровно из одной точки — [[идеал (математика)|идеала]] {0}. Действительно, поле не содержит других [[собственный идеал|собственных идеалов]]: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, [[коммутативное кольцо]], не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент ''a''. Тогда [[главный идеал]], порождённый ''a'', не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором [[максимальный идеал|максимальном]] (а следовательно, [[простой идеал|простом]]) идеале; а значит, спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

== Примеры полей ==
=== Поля характеристики, равной 0 ===
* <math>\mathbb{Q}</math> — [[рациональные числа]],
* <math>\mathbb{R}</math> — [[вещественные числа]],
* <math>\mathbb{C}</math> — [[комплексные числа]],
* <math>\mathbb{A}</math> — [[алгебраические числа]] над полем рациональных чисел (подполе в поле <math>\mathbb{C}</math>).
* Числа вида <math>a + b\sqrt{2}</math>, <math>a,b\in\mathbb{Q}</math>, относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров [[квадратичное поле|квадратичного поля]], которое образует подполе в <math>\mathbb{R}</math>.
* <math>\mathbb{F}(x)</math> — поле [[Рациональная функция|рациональных функций]] вида <math>f(x)/g(x)</math>, где <math>f</math> и <math>g</math> — многочлены над некоторым полем <math>\mathbb{F}</math> характеристики 0 (при этом <math>g \ne 0</math>, а <math>f</math> и <math>g</math> не имеют общих делителей, кроме констант).

=== Поля ненулевой характеристики ===
Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:
* <math>\mathbb{Z}_p</math> — поле [[сравнение по модулю натурального числа|вычетов]] по модулю <math>p</math>, где <math>p</math> — простое число.
* <math>\mathbb{F}_q</math> — [[конечное поле]] из <math>q=p^k</math> элементов, где <math>p</math> — простое число, <math>k</math> — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.
Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.

== См. также ==
* [[Алгебраически замкнутое поле]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = Бурбаки Н. | заглавие = Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы | место = М. | издательство = Наука | год = 1965}}
* {{книга|автор = Ленг С.|заглавие=Алгебра|место=М.|издательство=Мир|год=1968|страниц=564}}
* {{книга | автор = P. Aluffi | заглавие = Algebra: Chapter 0 | серия = Graduate Studies in Mathematics | издательство = American Mathematical Society | год = 2009 | ISBN = 0-8218-4781-3 | часть = Chapter VII}}
* {{статья
|заглавие=Sur la théorie des nombres
|издание=Bulletin des Sciences mathématiques
|том=XIII
|страницы=428
|язык=
|автор=Galois, Évariste
|год=1830}}
* {{Книга:Математическая энциклопедия|статья=Поле|автор= Л. В. Кузьмин}}

{{перевести|en|Field (mathematics)}}
{{внешние ссылки}}
[[Категория:Теория полей]]
[[Категория:Алгебраические структуры]]

Поле (алгебра) - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}