imported>Aristarh2704: Исправил свою предыдущую правку: по прежней версии выходит, что любое пространство, имеющее покрытие открытыми множествами, компактно

2020-04-20T15:42:27Z

Исправил свою предыдущую правку: по прежней версии выходит, что любое пространство, имеющее покрытие открытыми множествами, компактно

Новая страница

{{другие значения|Покрытие}}
'''Покры́тие''' в [[Математика|математике]] — семейство множеств, таких, что их [[Операции над множествами|объединение]] содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в [[Общая топология|общей топологии]], где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства [[Открытое множество|открытых множеств]]. В [[Комбинаторная геометрия|комбинаторной геометрии]] важную роль играют покрытия [[Выпуклое множество|выпуклыми множествами]]<ref>{{Из|МЭ||автор=А. В. Архангельский, П. С. Солтан}}</ref>.

== Определения ==

* Пусть дано [[множество]] <math>X</math>. [[Семейство (математика)|Семейство]] множеств <math>C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math> называется покрытием <math>X</math>, если
: <math>X \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.</math>

* Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>, где <math>X</math> — произвольное множество, а <math>\mathcal{T}</math> — определённая на <math>X</math> [[Топологическое пространство|топология]]. Тогда семейство [[Открытое множество|открытых множеств]] <math>C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subseteq \mathcal{T}</math> называется '''открытым покрытием''' множества <math>Y \subseteq X</math>, если
: <math>Y \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.</math>

== Связанные определения ==

* Если <math>C</math> — покрытие множества <math>Y</math>, то любое [[подмножество]] <math>D \subset C</math>, также являющееся покрытием <math>Y</math>, называется '''подпокры́тием'''.
* Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие '''впи́сано''' во второе. Более точно, покрытие <math>D = \{V_{\beta}\}_{\beta \in B}</math> вписано в покрытие <math>C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, если
: <math>\forall \beta \in B\; \exists \alpha \in A</math> такое, что <math>V_{\beta} \subseteq U_{\alpha}.</math>
* Покрытие <math>C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math> множества <math>Y</math> называется [[Локально конечное семейство подмножеств|'''лока́льно коне́чным''']], если для каждой точки <math>y\in Y</math> существует [[окрестность]] <math>U \ni y</math>, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов <math>C</math>, то есть множество <math>\{\alpha \in A \mid U_{\alpha} \cap U \not= \varnothing \}</math> [[Конечное множество|конечно]].
* Покрытие <math>C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math> множества <math>Y</math> называется '''фундамента́льным''', если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством <math>U\in C</math> открыто в <math>U</math>, открыто и в <math>Y</math>.
* <math>Y</math> называется [[Компактное пространство|компактным]], если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
* <math>Y</math> называется [[Паракомпактное пространство|паракомпактным]], если в любое его открытое покрытие можно вписать [[Локально конечное семейство подмножеств|локально конечное]] открытое покрытие.

== Свойства ==

* Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

== См. также ==

* [[Карта (математика)]]
* [[Нерв покрытия]]
* [[Размерность Лебега]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

[[Категория:Общая топология]]

Покрытие множества - История изменений

imported>Aristarh2704: Исправил свою предыдущую правку: по прежней версии выходит, что любое пространство, имеющее покрытие открытыми множествами, компактно