imported>LGB: /* Преамбула */

2025-10-21T09:58:49Z

Преамбула

Новая страница

'''Показа́тельная фу́нкция''' — [[Функция (математика)|математическая функция]] <math>f(x) = a^x</math>, где <math>a</math> называется [[Основание степени|основанием степени]], а <math>x</math> — [[Показатель степени|показателем степени]].
* В вещественном случае основание степени <math>a</math> — некоторое положительное [[вещественное число]], не равное 1<ref>{{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |издание=12-е изд. |заглавие=Справочник по высшей математике |место=М. |издательство=Наука |год=1977 |страниц=872 |страницы=255}}</ref> <ref>{{книга |часть=Показательная функция |столбцы=390 |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |страниц=1216 |том=4 |год=1984 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}</ref> (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
* В теории [[комплексная функция|комплексных функций]] рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное [[комплексное число]].
* В самом общем виде — <math>u^v</math>, введена [[Лейбниц]]ем в 1695 г.

[[Файл:Exp.svg|thumb|График экспоненты]]
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает [[e (математическая константа)|число e]]. Такая функция называется [[экспоненциальная функция|экспонентой]] (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание <math>a</math> может быть представлено в виде степени числа е (<math>a=e^{\ln a}</math>), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

== Вещественная функция ==

=== Определение показательной функции ===
Пусть <math>a</math> — положительное вещественное число, <math>x</math> — [[рациональное число]]: <math>x=\frac{m}{n}</math>. Тогда <math>a^x</math> определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.
* Если <math>x>0</math>, то <math>a^x=\sqrt[n]{a^m}</math>.
* Если <math>x=0</math> и <math>a \ne 0</math>, то <math>a^x=1</math>.
** Значение <math>0^0</math> не определено (см. [[Ноль в степени ноль]]).
* Если <math>x<0</math> и <math>a>0</math>, то <math>a^x=\frac {1} {a^{|x|}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{|m|}}}</math>.
** Значение <math>a^x</math> при <math>x<0, a=0</math> не определено.
Для произвольного вещественного показателя <math>x</math> значение <math>a^x</math> можно определить как предел последовательности

: <math>a^x = \lim_{n\to\infty} a^{r_n}</math>

где <math>\{r_n\}</math> — последовательность [[Рациональное число|рациональных чисел]], сходящихся к <math>x</math>. То есть
: <math>\lim_{n\to\infty} r_n = x</math>

=== Свойства ===
'''Свойства возведения в степень:'''
* <math>a^0 = 1</math>
* <math>a^{x+y} = a^x \, a^y</math>
* <math>(a^x)^y = a^{xy}</math>
* <math>(ab)^x = a^x \, b^x</math>
* <math>a^x</math> / <math>b^x</math> = <math>(a/b)^x</math>
'''Промежутки монотонности:'''
[[Файл:Exponenciala priklad.png|thumb|200px|right|Показательная функция с основаниями 2 и 1/2]]
При <math>a>1</math> показательная функция всюду возрастает, причём:

* <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=0</math> (для всякого <math>n</math>)
* <math>\lim_{x\to -\infty}a^x = 0</math>

При <math>0<a<1</math> функция, соответственно, убывает, причём:

* <math>\lim_{x\to-\infty}\frac{x^n}{a^x}=0</math> (для всякого <math>n</math>)
* <math>\lim_{x\to \infty}a^x = 0</math>

То есть показательная функция [[Асимптотическая оценка|растёт на бесконечности быстрее]] любой [[Полиномиальная функция|полиномиальной]]. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, [[Ограничение складывания бумаги пополам|задачей о складывании бумаги]].

'''Обратная функция:'''

По аналогии с введением [[Корень (математика)|функции корня]] для [[Степенная функция|степенной]] введём [[Логарифм|логарифмическую функцию]], обратную показательной:

: <math>f(x)=a^x,\quad f^{-1}(x)=\log_{a}x</math> (логарифм <math>x</math> по основанию <math>a</math>)

'''Число е:'''

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём <math>a_0:(a_0^x)'_x=a_0^x
</math> (такое число <math>a</math>, производная показательной функции которого равна самой функции):

: <math>\frac{d}{dx}a_0^x = a_0^x\;\Leftrightarrow\;a_0^{x+dx}-a_0^x=a_0^x\,dx</math>

Возможность определения <math>a_0</math> легко увидеть после сокращения на <math>a_0^x</math>:

: <math>a_0^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow\;a_0=\left(1+dx\right)^{1/dx}
</math>

Выбирая <math>dx = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}</math>, окончательно получим [[E (число)|число Эйлера]]:

: <math>a_0\equiv e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}</math>

Отметим, что функцию <math>e^x</math> можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>

Откуда имеем более точное приближение:

: <math>e = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}</math>

Единственность числа <math>e</math> легко показать, варьируя <math>e^x</math>. Действительно, если <math>e_1^x</math> пройдёт где-то выше, чем <math>e^x</math>, то на том же промежутке найдётся область, где <math>(e_1^x)'<e^x </math>.

'''Дифференцирование:'''

Используя функцию [[натуральный логарифм|натурального логарифма]] <math>\ln \, x: e^{\ln x}=x</math>, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: <math>a^x = e^{\ln(a)\,x}</math>, откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

: <math>(a^x)'=\ln(a)a^x</math>

'''Неопределённый интеграл:'''

: <math>\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C</math>

=== Потенцирование и антилогарифм ===
[[Файл:Antilog_functions_on_the_calculator_Elektronika_MK-51.jpg|thumb|Изображение функции нахождения десятичного (10<sup>x</sup>) и натурального (e<sup>x</sup>) антилогарифмов в микрокалькуляторе «[[Электроника МК-51]]»]]

''Потенцирование'' (от {{lang-de|potenzieren}}<ref group="К">Термин впервые встречается у швейцарского математика [[Ран, Иоганн|Иоганна Рана]] (1659 год).</ref>) — нахождение числа по известному значению его [[логарифм]]а<ref>{{МЭС|автор=|статья=Потенцирование |ссылка=|страницы=479|ref=}}</ref>, то есть решение уравнения <math>\log_a x = b</math>. Из определения логарифма вытекает, что <math>x = a^b</math>, таким образом, возведение <math>a</math> в степень <math>b</math> может быть названо другими словами «потенцированием <math>b</math> по основанию <math>a</math>», или вычислением показательной функции от <math>b</math>.

''Антилогарифм''<ref name="mes" /> числа {{math|''x''}} — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании <math>a</math>) равен числу <math>x</math><ref name="mes">{{МЭС|автор=|статья=Антилогарифм |ссылка=|страницы=73|ref=}} / [[Математический энциклопедический словарь]], {{М}}: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.</ref><ref name="v1">{{МатЭнц|1|автор=|статья=Антилогарифм |ссылка=|страницы=|ref=}}</ref>:
: <math>\operatorname{ant} \log _a {x} = a^x.</math>
Термин «антилогарифм» введен [[Валлис, Джон|Валлисом]] в 1693 году<ref>{{книга |часть=Математика XVII столетия |заглавие=История математики, в трёх томах |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=II|страницы=56}}</ref>. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в [[Логарифмическая таблица|логарифмических таблицах]]<ref>{{МЭС|автор=|статья=Логарифмические таблицы|ссылка=|страницы=330|ref=}}</ref>, [[Логарифмическая линейка|логарифмических линейках]], [[микрокалькулятор]]ах. Например, для извлечения [[Кубический корень|кубического корня]] из числа <math>a</math> по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа <math>a,</math> разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию <math>e</math> или 10 называется натуральным<ref>{{Cite web |url=https://books.google.ru/books?id=2QyIAQAAQBAJ&pg=PA746 |title=Финансовые инструменты - Коллектив авторов - Google Книги |access-date=2021-07-08 |archive-date=2021-07-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210709190713/https://books.google.ru/books?id=2QyIAQAAQBAJ&pg=PA746 |url-status=live }}</ref> или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом<ref name="v1" />.

В инженерных [[калькулятор]]ах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: <math>e^x</math> и <math>10^x</math>.

== Комплексная функция ==
Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:
: <math>e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots</math>
Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для <math>e^{ix}</math> вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую [[формула Эйлера|формулу Эйлера]]:
: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>
Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:
: <math>e^{z+2\pi i} = e^z</math>

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и [[Логарифм#Комплексный логарифм|комплексного логарифма]].

Пример: <math>i^i=e^{i\cdot\ln(i)}</math>; поскольку <math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2}</math> (главное значение логарифма), окончательно получаем: <math>i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}}</math>.

== См. также ==
* [[Возведение в степень]]
* [[Ограничение складывания бумаги пополам]]
* [[Степенная функция]]
* [[Экспонента]]
* [[Двойная экспоненциальная функция]]

== Примечания ==
{{примечания}}

=== Комментарии ===
{{примечания|group="К"}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] |заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II |место=М. |год=2001 |издательство=[[Физматлит]] |isbn=5-9221-0156-0, |isbn2=5-9221-0155-2 }}
* {{БСЭ3|Антилогарифм}}

{{вс}}

[[Категория:Элементарные функции]]
[[Категория:Элементарные функции комплексной переменной]]

Показательная функция - История изменений

imported>LGB: /* Преамбула */