imported>ПростаРечь в 11:17, 27 сентября 2025

2025-09-27T11:17:57Z

91.209.147.234 в 13:24, 21 января 2025

2025-01-21T13:24:06Z

Новая страница

{{Другие значения}} [[Файл:Similar-geometric-shapes.svg|thumb|327px|Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета]]

'''Подо́бие''' — преобразование [[евклидово пространство|евклидова пространства]], при котором для любых двух точек <math>A</math>, <math>B</math> и их образов <math>A'</math>, <math>B'</math> имеет место соотношение <math>|A'B'|=k\cdot |AB|</math>,
при некотором фиксированном <math>k \neq 0</math>, называемым ''коэффициентом подобия''.

Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел [[#Обобщения|Обобщения]]).

== История ==
Подобные фигуры рассматривались в [[Древняя Греция|Древней Греции]] в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах [[Гиппократ Хиосский|Гиппократа Хиосского]], [[Архит Тарентский|Архита Тарентского]], [[Евдокс Книдский|Евдокса Книдского]] и в VI книге «Начал» [[Евклид]]а.

== Частные случаи ==
* '''[[гомотетия|Гомотетией]]''' называется подобие, имеющее [[Неподвижная точка|неподвижную точку]] и сохраняющее [[Ориентация|ориентацию]].
* '''[[Изометрия (математика)|Движением]]''' называется преобразование подобия с коэффициентом <math>k=1</math>, то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.

== Связанные определения ==
* [[Фигура (геометрия)|Фигура]] <math>F</math> называется '''подобной фигуре''' <math>F '</math>, если существует преобразование подобия, при котором <math>F\mapsto F'</math>.
** Подобие фигур является [[отношение эквивалентности|отношением эквивалентности]].
** Для обозначения подобия обычно используется значок <math>\sim</math> — <math>F\sim F'</math> означает, что фигуры <math>F</math> и <math>F '</math> подобны.

== Метод подобия ==
Подобие фигур применяется к решению многих [[Построение с помощью циркуля и линейки|задач на построение]].

Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой.
Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.

Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку<ref>{{книга|автор=[[Киселёв, Андрей Петрович|А. П. Киселёв]]|заглавие=[[Элементарная геометрия (Киселёв)|Элементарная геометрия]]|год=1938|серия=|ссылка=|место=|издательство=|тираж=|страниц=|isbn=|ответственный= под редакцией [[Глаголев, Нил Александрович|Н. А. Глаголева]]}}</ref>.

== Свойства ==
* Подобие есть [[Биекция|взаимно однозначное отображение]] евклидова пространства на себя.
* Подобие является [[Аффинное преобразование|аффинным преобразованием плоскости.]]
* Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка <math>B</math> лежит между точками <math>A</math>, <math>C</math> и <math>B'</math>, <math>A'</math>, <math>C'</math> — соответствующие их образы при некотором подобии, то <math>B'</math> также лежит между точками <math>A'</math> и <math>C'</math>.
* Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
* Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
* Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
* Подобие с коэффициентом <math>k\not=1</math>, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом <math>k</math> или <math>-k</math>.
** Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения <math>D</math> и некоторой гомотетии <math>\Gamma</math> с положительным коэффициентом.
** Подобие называется '''собственным''' ('''несобственным'''), если движение <math>D</math> является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
* Два [[треугольник]]а в [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] являются подобными, если
** их соответственные углы равны, или
** стороны пропорциональны. См. также [[Признаки подобия треугольников]].
* Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

== Обобщения ==
Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и [[псевдоевклидово пространство|псевдоевклидовом пространствах]].

В [[Метрическое пространство|метрических пространствах]] так же, как в <math>n</math>-мерных [[риманово пространство|римановых]], [[псевдориманово пространство|псевдоримановых]] и [[финслерово пространство|финслеровых]] пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее [[Риманова метрика|метрику]] пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет <math>r</math>-членную [[группа Ли|группу преобразований Ли]], называемой группой подобных
(гомотетических) преобразований соответствующего пространства.
В каждом из пространств
указанных типов <math>r</math>-членная группа подобных преобразований Ли содержит <math>(r-1)</math>-членную
[[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] движений.

== См. также ==
* [[Гомеоморфизм]]
* [[Конгруэнтность (геометрия)]]
* [[Конформное отображение]]
* [[Масштаб]] (коэффициент подобия)
* [[Признаки подобия треугольников]]
* [[Пропорциональность]]
* [[Самоподобие]]
* [[Симметрия]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ravenstvo-i-podobie-gyeometricheskih-figur Равенство и подобие геометрических фигур].
* {{ВТ-ЭСБЕ|Гомотетические фигуры|[[Граве, Дмитрий Александрович|Граве Д. А.]]}}
* {{Книга:Математическая энциклопедия|4|автор=|статья=Подобие|ссылка=|страницы=373}}

{{Библиоинформация}}

[[Категория:Геометрия]]
[[Категория:Математические отношения]]
[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Преобразования пространства]]

Подобие - История изменений

imported>ПростаРечь в 11:17, 27 сентября 2025

91.209.147.234 в 13:24, 21 января 2025