https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?action=history&feed=atom&title=%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BAПодерный треугольник - История изменений2026-07-19T09:40:40ZИстория изменений этой страницы в викиMediaWiki 1.45.3https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA&diff=12575&oldid=previmported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)2025-07-16T10:11:37Z<p>замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>[[Файл:Pedal trig illustration.png|right|thumb|Синий треугольник — подерный треугольник точки <math>P</math> относительно красного треугольника]]<br />
'''Поде́рный треугольник''' (также '''треугольник проекций'''{{sfn|Зетель|1962|с=136}}) точки <math>P</math> относительно <math>\triangle ABC</math> — это треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки <math>P</math> на стороны треугольника <math>ABC</math> (или их продолжения).<br />
<br />
== Связанные определения ==<br />
* Описанную окружность подерного треугольника называют '''подерной окружностью'''.<br />
* Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трех прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку <math>P</math>, с описанной окружностью, называют '''окружностно-чевианным треугольником'''.<br />
== Свойства ==<br />
* Окружностно-чевианный треугольник точки подобен её подерному треугольнику.<ref>{{Cite web |url=http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130 |title=Задача 108130 |access-date=2015-09-01 |archive-date=2016-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304121912/http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130 |url-status=live }}</ref>.<br />
* Вершины подерного треугольника разделяют три стороны исходного треугольника на шесть отрезков так, что сумма квадратов трех из них, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трех других, также не имеющих общих концов{{sfn|Зетель|1962|с=137|loc=п. 126, теорема}}.<br />
**Верно и обратное: Если на трех сторонах исходного треугольника выбраны три точки так, что они разделяют стороны на шесть отрезков, при этом сумма квадратов трех из них, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трех других, также не имеющих общих концов, тогда эти три точки являются вершинами некоторого подерного треугольника{{sfn|Зетель|1962|с=136|loc=п. 126, обратная теорема}}. В частности:<br />
*** Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (в [[ортоцентр]]е)<br />
*** Три [[Срединный перпендикуляр|срединных перпендикуляра]] (медиатрисы) к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (в [[описанная окружность|центре описанной окружности]])<br />
*** Три [[перпендикуляр]]а к сторонам треугольника, проведенные в точках их касания с тремя [[вневписанная окружность|вневписанными окружностями]], пересекаются в одной точке.<br />
== Частные случаи подерных треугольников==<br />
=== Вырожденный подерный треугольник===<br />
[[Файл:Pedal line illustration.svg|right|thumb|Прямая Симсона треугольника ''ABC'']]<br />
* Подерный треугольник точки <math>P</math> вырождается в прямую (на рисунке она синего цвета) тогда и только тогда, когда <math>P</math> находится на [[описанная окружность|описанной окружности]] треугольника <math>ABC</math>. В этом случае прямая, содержащая подерный треугольник, называется [[прямая Симсона|прямой Симсона]].<br />
=== Равносторонний подерный треугольник===<br />
* Подерный треугольник [[Точка Аполлония|точки Аполлония]] является [[равносторонний треугольник|равносторонним треугольником]].<br />
===Ортоцентрический треугольник как подерный треугольник===<br />
* Подерный треугольник [[ортоцентр]]а является [[ортоцентр|ортоцентрическим треугольником]].<br />
<br />
===Серединный треугольник как подерный треугольник===<br />
[[Серединный треугольник]] (''дополнительный треугольник'') является подерным треугольником центра [[Описанная окружность|описанной окружности]] исходного треугольника.<br />
<br />
== Подерные окружности двух [[Изогональное сопряжение|изогонально сопряженных точек]] треугольника == <br />
* Две точки треугольника [[Изогональное сопряжение|изогонально сопряжены]] тогда и только тогда, когда произведения трех их расстояний до трех сторон треугольника равны{{sfn|Зетель|1962|с=97|loc=п. 80}}.<br />
* Подерные окружности двух [[Изогональное сопряжение|изогонально сопряженных точек]] совпадают{{sfn|Зетель|1962|с=97|loc=п. 80}}.<br />
**В частности, подерной окружностью [[ортоцентр]]а и центра описанной окружности (как двух [[Изогональное сопряжение|изогонально сопряженных точек]] треугольника) является [[Окружность девяти точек|окружность Эйлера]].<br />
<br />
== См. также ==<br />
* [[Глоссарий планиметрии]]<br />
* [[Подера]]<br />
* [[Подерная система координат]]<br />
* [[Подерное преобразование]]<br />
<br />
== Примечания ==<br />
{{примечания}}<br />
<br />
== Литература ==<br />
* {{книга<br />
| автор = Зетель С. И.<br />
| заглавие = Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей<br />
| издание = 2-е издание<br />
| место = М.<br />
| издательство = [[Учпедгиз]]<br />
| год = 1962<br />
| ref = Зетель<br />
}}<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=336 Некоторые задачи и теоремы о подерном треугольнике]<br />
<br />
<br />
[[Категория:Виды треугольников]]<br />
[[Категория:Замечательные точки треугольника]]<br />
[[Категория:Теоремы планиметрии]]</div>imported>Alex NB OT