imported>ChieftainTrain: Единичный как будто обязывает группу быть числовой, по моему мнению, лучше говорить нейтральный.

2024-12-12T20:57:08Z

Единичный как будто обязывает группу быть числовой, по моему мнению, лучше говорить нейтральный.

Новая страница

'''Подгруппа''' ― подмножество <math>H</math> [[группа (математика)|группы]] <math>G</math>, само являющееся группой относительно группового умножения на <math>G</math>.

Подмножество <math>H</math> группы <math>G</math> является её подгруппой тогда и только тогда, когда:
# <math>H</math> содержит нейтральный элемент из <math>G</math>
# содержит произведение любых двух элементов из <math>H</math>,
# содержит вместе со всяким своим элементом <math>h</math> обратный к нему элемент <math>h^{-1}</math>.

В случае конечных и, вообще, [[периодическая группа|периодических групп]] третье условие является следствием первых двух.

== Примеры ==
* Подмножество группы <math>G</math>, состоящее из одного элемента <math>1</math>, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы <math>G</math>.
* Сама <math>G</math> также является своей подгруппой.

== Связанные определения ==
* Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется ''истинной подгруппой'' этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
* Сама группа <math>G</math> и единичная подгруппа называется ''несобственными подгруппами'' группы <math>G</math>, все остальные ― ''собственными''.
* Пересечение всех подгрупп группы <math>G</math>, содержащих все элементы некоторого непустого множества <math>M</math>, называется ''подгруппой, порождённой множеством <math>M</math>'', и обозначается <math>\langle M\rangle</math>.
** Если <math>M</math> состоит из одного элемента <math>a</math>, то <math>\langle a\rangle</math> называется ''циклической подгруппой'' элемента <math>a</math>.
** Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется [[циклическая группа|циклической группой]].
* Если группа <math>G_1</math> изоморфна некоторой подгруппе <math>H</math> группы <math>G</math>, то говорят, что группа <math>G_1</math> может быть ''вложена'' в группу <math>G</math>.
* Если <math>H</math> — подгруппа группы <math>G</math>, то для любого <math>a\in G</math> подмножество
*:<math>aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\}</math>
:является подгруппой. При этом подгруппы <math>aHa^{-1}</math> и <math>H</math> называются ''сопряжёнными''.

== Основные свойства ==
* Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
* Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
* Непустое множество <math>H\subset G</math> является подгруппой группы <math>G</math> тогда и только тогда, когда для любых <math> a, b \in H</math> выполняется <math>ab^{-1} \in H.</math>
* Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы <math>G</math> является подгруппой группы <math>G</math>.
* Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп <math>H</math> и <math>K</math> называется подгруппа, порожденная объединением множеств <math>H\cup K</math>.
* [[Гомоморфизм групп|Гомоморфный]] образ подгрупп ― подгруппа.
* Если даны две группы и каждая из них [[изоморфизм групп|изоморфна]] некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

== Смежные классы ==
Для подгруппы <math>H</math> и некоторого элемента <math>a \in G</math>, определяется левый смежный класс <math>aH = \{ax: x \in H\}</math>. Количество левых смежных классов подгруппы <math>H</math> называется [[индекс подгруппы|индексом подгруппы]] <math>H</math> в <math>G</math> и обозначается <math>[G: H]</math>. Аналогично можно определить правые классы смежности <math>Ha = \{xa: x \in H\}</math>.

Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется [[нормальная подгруппа|нормальной]]. Это свойство даёт возможность построить [[факторгруппа|факторгруппу]] <math>G/H</math> группы <math>G</math> по нормальной подгруппе <math>H</math>.

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Курош, Александр Геннадиевич|Курош А. Г.]]
|заглавие = Теория групп
|ссылка = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kurosh1967ru.djvu
|издание = 3-е изд
|место = {{М}}
|издательство = Наука
|год = 1967
|страниц = 648
|isbn =
}}
* {{книга
|автор = [[Журавлёв, Юрий Иванович (математик)|Журавлёв Ю. И.]], [[Флёров, Юрий Арсениевич|Флёров Ю. А.]], Вялый М. Н.
|заглавие = Дискретный анализ. Основы высшей алгебры
|ссылка = http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf
|издание = 2-е изд
|место = {{М}}
|издательство = МЗ Пресс
|год = 2007
|страницы = 24—25
|страниц = 224
}}

{{Теория групп}}

[[Категория:Теория групп]]

Подгруппа - История изменений

imported>ChieftainTrain: Единичный как будто обязывает группу быть числовой, по моему мнению, лучше говорить нейтральный.