imported>Mikisavex: мелкие правки, пунктуация

2024-11-26T02:40:15Z

мелкие правки, пунктуация

Новая страница

'''Поверхность вращения''' — [[поверхность]], образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии ([[прямая|прямой]], плоской или пространственной [[кривая|кривой]]). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится [[конус|коническая]] поверхность, если параллельна оси — [[цилиндр]]ическая, если скрещивается с осью — [[гиперболоид]]. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

[[Файл:Surface of revolution illustration.png|thumb|220px|Поверхность, полученная вращением кривой ''x''=2+cos ''z'' вокруг оси ''z'']]

Является объектом изучения в [[математический анализ|математическом анализе]], [[аналитическая геометрия|аналитической]], [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной]] и [[начертательная геометрия|начертательной]] геометрии.

== Примеры ==
* Круговая [[цилиндрическая поверхность]] (получается вращением прямой вокруг параллельной ей прямой).
* [[Конус]] (получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую).
* [[Сфера (поверхность)|Сфера]] (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
* [[Тор (поверхность)|Тор]] (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
* [[Эллипсоид вращения]] ― [[эллипсоид]], длины двух полуосей которого совпадают (получается вращением [[эллипс]]а вокруг одной из его осей).
* Параболоид вращения ― [[параболоид|эллиптический параболоид]], полученный вращением [[парабола|параболы]] вокруг своей оси.
* [[Катеноид]] (получается вращением [[Цепная линия|цепной линии]]).

== Площадь ==
[[Площадь поверхности]] вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до [[центр масс|центра масс]] кривой. Это утверждение называется второй [[теоремы Паппа — Гульдина|теоремой Паппа — Гульдина]], или теоремой [[Папп Александрийский|Паппа]] о центроиде.

Например, для [[Тор (поверхность)|тора]] с радиусами <math>r, R</math>, площадь поверхности равна
: <math>S=(2\pi r)\cdot(2\pi R) = 4\pi^2 r R</math>.

[[Площадь поверхности]] вращения, образованной вращением кривой <math>y=f(x),\ a\le x \le b</math> вокруг оси <math>Ox</math>, можно вычислить по формуле

: <math>S=2\pi\int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx</math>.

[[Площадь поверхности]] вращения, образованной вращением кривой <math>x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\le t \le\beta</math> вокруг оси <math>Ox</math>, можно вычислить по формуле

: <math>S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t) \sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}dt</math>.

Для случая, когда кривая задана в [[Полярная система координат|полярной системе координат]] <math>r=\rho(\varphi),\ \alpha\le \varphi \le\beta</math>, действительна формула

: <math>S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta \rho(\varphi) |\sin\varphi| \sqrt{\left(\rho(\varphi)\right)^2+\left(\rho'(\varphi)\right)^2}d\varphi</math>.

== Объём ==
[[Объём (геометрия)|Объём]], ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

[[Объём (геометрия)|Объём]] поверхности вращения, образованной вращением кривой <math>y=f(x),\ a\le x \le b</math> вокруг оси <math>0x</math>, можно вычислить по формуле

: <math>V=\pi\int\limits_a^b f^2(x) dx</math>.

== Вариации и обобщения ==
* [[Искривлённое произведение]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Геометрические фигуры]]

Поверхность вращения - История изменений

imported>Mikisavex: мелкие правки, пунктуация