imported>NapalmBot: Исправление псевдозаголовков (см. Википедия:Доступность#Заголовки)

2024-10-10T23:32:36Z

Исправление псевдозаголовков (см. Википедия:Доступность#Заголовки)

Новая страница

{{Значения|Площадь (значения)}}
'''[[Площадь]] плоской фигуры''' — [[Аддитивность (математика)|аддитивная]] числовая характеристика [[Фигура (геометрия)|фигуры]], целиком принадлежащей одной [[Плоскость (геометрия)|плоскости]]. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество [[Единичный квадрат|единичных квадратов]], площадь равна числу квадратов.

== Об определении ==
Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье [[мера Жордана]], здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

'''Площадь''' — это [[Вещественное число|вещественнозначная]] [[Функция (математика)|функция]], определённая на ''определённом классе'' фигур [[Евклидово пространство|евклидовой плоскости]] и удовлетворяющая четырём условиям:

# Положительность — площадь неотрицательна;
# Нормировка — [[квадрат]] со стороной единица имеет площадь 1;
# [[Конгруэнтность (геометрия)|Конгруэнтность]] — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
# [[Аддитивность (математика)|Аддитивность]] — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом '''определённый класс''' должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все [[многоугольник]]и. Из этих аксиом следует [[монотонность функции|монотонность]] площади, то есть

* Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество ''квадрируемых фигур''.
Фигура <math>F</math> называется '''квадрируемой''', если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует пара многоугольников <math>P</math> и <math> Q</math>, такие что <math>P\subset F\subset Q</math> и <math>S(Q)-S(P)<\varepsilon</math>, где <math>S(P)</math> обозначает площадь <math>P</math>.

'''Примеры квадрируемых фигур:'''
*многоугольники;
*любая фигура, ограниченная [[спрямляемая кривая|спрямляемой кривой]], в частности круг;
*фигура, ограниченная [[снежинка Коха|снежинкой Коха]], хотя её граница не спрямляема.

== Связанные определения ==
* Две фигуры называются ''равновеликими'', если они имеют равную площадь.

== Комментарии ==
*Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить ''площадь'' для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
**То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для [[Объём (геометрия)|объёма]] в [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] и также нельзя для площади на единичной [[Сфера (поверхность)|сфере]] в евклидовом пространстве (смотри соответственно [[парадокс удвоения шара]] и [[парадокс Хаусдорфа]]).

== Формулы ==
[[Файл:Area.svg|right|200px]]
{| class="standard"
! Фигура
! Формула
! Комментарий
|-
|[[Правильный треугольник]]
||<math>\tfrac{\sqrt{3}}4{\cdot}a^2</math>
||<math>a</math> — длина стороны треугольника.
|-
|[[Треугольник]]
|<math>\sqrt{p{\cdot}(p-a){\cdot}(p-b){\cdot}(p-c)}</math>
|[[Формула Герона]]. <math> p </math> — [[полупериметр]], <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> — длины сторон треугольника.
|-
|[[Треугольник]]
|<math>\tfrac12{\cdot} a{\cdot} b{\cdot} \sin\gamma</math>
|<math>a</math> и <math>b</math> — две стороны треугольника, а <math>\gamma</math> — угол между ними.
|-
|[[Треугольник]]
|<math>\tfrac12{\cdot}b{\cdot}h</math>
|<math>b</math> и <math>h</math> — сторона треугольника и [[Высота (геометрия)|высота]], проведённая к этой стороне.
|-
|[[Квадрат]]
|<math>a^2</math>
|<math>a</math> — длина стороны квадрата.
|-
|[[Прямоугольник]]
|<math>a{\cdot}b</math>
|<math>a</math> и <math>b</math> — длины сторон прямоугольника.
|-
|[[Ромб]]
|<math>a^2{\cdot}\sin \alpha, \tfrac12bc</math>
|<math>a</math> — сторона ромба, <math>\alpha</math> — внутренний угол, <math>b,c</math> — [[Диагональ|диагонали]].
|-
|[[Параллелограмм]]
|<math>b{\cdot}h</math>
|<math>b</math> — длина одной из сторон параллелограмма, а <math>h</math> — [[Высота (геометрия)|высота]], проведённая к этой стороне.
|-
|[[Трапеция]]
|<math>\tfrac12{\cdot}(a+b){\cdot}h</math>
|<math>a</math> и <math>b</math> — длины параллельных сторон, а <math>h</math> — расстояние между ними (высота).
|-
|[[Четырёхугольник]]
|<math>\tfrac12{\cdot}m{\cdot}n{\cdot}\sin\phi</math>
|<math>n</math> и <math>m</math> — длины диагоналей, и <math>\phi</math> — угол между ними.
|-
|[[Правильный шестиугольник]]
|<math>\tfrac{3{\cdot}\sqrt{3}}2{\cdot}a^2</math>
|<math>a</math> — длина стороны шестиугольника.
|-
|Правильный [[восьмиугольник]]
|<math>2{\cdot}(1+\sqrt{2}){\cdot}a^2</math>
|<math>a</math> — длина стороны восьмиугольника.
|-
| rowspan=2 | [[Правильный многоугольник]]
|<math>\frac{n{\cdot}a^2} {4 {\cdot} \tan(\pi/n)}</math>
|<math>a</math> — длина стороны многоугольника, а <math>n</math> — количество сторон многоугольника.
|-
|<math>\tfrac12{\cdot}a{\cdot} p</math>
|<math>a</math> — [[апофема]] (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а <math>p</math> — периметр многоугольника.
|-
| Произвольный [[многоугольник]]
| <math>{1 \over 2} \left | \sum_{i=0}^{n-1} \det\begin{pmatrix} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \end{pmatrix} \right | </math>
| [[Формула площади Гаусса]]. <math>(x_i,y_i)</math> — координаты вершин <math>n</math>-угольника, <math>(x_n,y_n)=(x_0,y_0)</math>
|-
|[[Круг]]
|<math>\pi {\cdot}r^2</math> или <math>\frac{\pi{\cdot} d^2}{4}</math>
|<math>r</math> — радиус окружности, а <math>d</math> — её диаметр.
|-
|[[Сектор (геометрия)|Сектор круга]]
|<math>\tfrac12 {\cdot}r^2{\cdot} \theta</math>
|<math>r</math> и <math>\theta</math> — соответственно радиус и угол сектора (в [[Радианы|радианах]]).
|-
|[[Эллипс]]
|<math>\pi{\cdot} a{\cdot}b</math>
|<math>a</math> и <math>b</math> — большая и малая полуоси эллипса.
|-
|}

== См. также ==
* [[Исчезновение клетки]]
* [[Мера Бореля]]
* [[Мера Жордана]]
* [[Мера Лебега]]
* [[Ориентированная площадь]]
* [[Площадь]]
* [[Площадь поверхности]]
* [[Теорема Бойяи — Гервина]] о равносоставленности равновеликих многоугольников
* [[Треугольник]] о площадях треугольников
* [[Четырехугольник]] о площадях четырехугольников

== Литература ==
* ''[[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Болтянский]]'', [http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm О понятиях площади и объёма.] {{Wayback|url=http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm |date=20170505023703 }} [[Квант (журнал)|Квант]], № 5, 1977
* ''[[Гейдман, Борис Петрович|Б. П. Гейдман]]'', [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.9.pdf Площади многоугольников] {{Wayback|url=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.9.pdf |date=20170610050706 }}, [https://web.archive.org/web/20140112045039/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php Библиотека «Математическое просвещение»], выпуск 16, (2002).
* §§ 244—276 в {{cite arXiv|author=А. П. Киселёв|eprint=1806.06942 |class=math.HO |title=[[Элементарная геометрия (Киселёв)|Геометрия по Киселёву]]}}
*{{книга
| автор = Мерзон Г. А., Ященко И. В.
| заглавие = Длина, площадь, объем
| издательство = МЦНМО
| год = 2011
| isbn = 9785940577409
}}
* ''[[Рохлин, Владимир Абрамович|В. А. Рохлин]]'', [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/encikl/enc-el-5.htm Площадь и объём] {{Wayback|url=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/encikl/enc-el-5.htm |date=20210411050617 }}, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Площадь]]

Площадь фигуры - История изменений

imported>NapalmBot: Исправление псевдозаголовков (см. Википедия:Доступность#Заголовки)