imported>Sigwald: откат правок 178.213.27.42 (обс.) к версии Железный капут

2024-12-18T13:50:32Z

откат правок 178.213.27.42 (обс.) к версии Железный капут

Новая страница

[[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|250px|right|thumb| Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]]

'''Пересече́ние мно́жеств''' в [[Теория множеств|теории множеств]] — это [[множество]], которому принадлежат те и только те [[Элемент множества|элементы]], которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств <math>A</math> и <math>B</math> обычно обозначается <math>A\cap B</math>, но в редких случаях может обозначаться <math>AB</math><ref>{{Книга |заглавие=Математика, её содержание, методы и значение |ссылка=https://books.google.com/books?id=gMz5AgAAQBAJ&pg=PA7|издательство=Рипол Классик |год=2013 |страницы=7 |страниц=337}}</ref>.

== Определение ==

=== Пересечение двух множеств ===
Пусть даны [[Множество|множества]] <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда их пересечением называется множество
: <math>A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}.</math>

=== Пересечение семейства множеств ===
Пусть дано семейство множеств <math>\{M_{\alpha}\}_{\alpha \in A}.</math> Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:
: <math>\bigcap\limits_{\alpha \in A} M_{\alpha} = \{x \mid \forall \alpha \in A,\; x \in M_{\alpha}\}.</math>

== Свойства ==
* Пересечение множеств является [[Бинарная операция|бинарной операцией]] на произвольном [[булеан]]е <math>2^X</math>;
* Операция пересечения множеств [[Коммутативность|коммутативна]]
*:<math>A \cap B = B \cap A;</math>
* Операция пересечения множеств [[Ассоциативность (математика)|ассоциативна]]:
*: <math>(A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C);</math>
* Операция пересечения множеств [[Дистрибутивность|дистрибутивна]] относительно операции [[Объединение множеств|объединения]]:<ref name="ilyin">{{книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 2. Вещественные числа
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный = {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 66
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
|archive-date = 2015-06-23
|archive-url = https://web.archive.org/web/20150623071551/http://sci-lib.com/book000401.html
}}</ref>
*: <math>\left( \bigcup_k A_k \right) \cap B = \bigcup_k \left( A_k \cap B\right)</math>
* [[Универсальное множество]] <math>U</math> является [[Нейтральный элемент|нейтральным элементом]] операции пересечения множеств:
*: <math>A\cap U = A;</math>
* Операция пересечения множеств [[Идемпотентность|идемпотентна]]:
*: <math>A \cap A = A;</math>
* Если <math>\varnothing</math> — [[пустое множество]], то
*: <math>A \cap \varnothing = \varnothing.</math>

== Пример ==
Пусть <math>A = \{1,\;2,\;3,\;4\}</math>, <math>B = \{3,\;4,\;5,\;6,\;7\} </math>.
Тогда
: <math>A \cap B = \{3,\;4\}.</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Операции над множествами]]

{{Теория множеств}}
[[Категория:Алгебраические операции (теория множеств)]]

Пересечение множеств - История изменений

imported>Sigwald: откат правок 178.213.27.42 (обс.) к версии Железный капут