imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)

2025-07-16T10:12:12Z

замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)

Новая страница

'''Первообра́зная''' для функции <math>f(x)</math> (иногда называемая '''антипроизводной''' или '''примити́вной функцией''') — это такая функция, [[Производная функции|производная]] которой равна <math>f(x)</math>. Это одно из важнейших понятий [[Математический анализ|математического анализа]] [[Вещественное число|вещественной переменной]] (существуют также обобщения этого понятия для [[Комплексный анализ|комплексных функций]]<ref>{{Cite web |url=https://studfiles.net/preview/2714927/page:16/ |title=Первообразная функции комплексных переменных |access-date=2019-05-07 |archive-date=2019-05-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190507170929/https://studfiles.net/preview/2714927/page:16/ |url-status=live }}</ref>).

== Определение ==
Первообразной для данной [[Функция (математика)|функции]] <math>f(x)</math> называют<ref name=ME>{{книга |часть=Первообразная |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=4 |год=1984 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=237 }}</ref> такую функцию <math>F(x)</math>, [[Производная функции|производная]] которой равна <math>f</math> (на всей области определения <math>f</math>), то есть <math>F'(x) = f(x)</math>. Нахождение первообразной является операцией, обратной [[Производная функции|дифференцированию]] — последнее по заданной функции находит её производную, а найдя первообразную, мы, наоборот, по заданной производной определили исходную функцию.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять [[Определённый интеграл|определённые интегралы]]. Если <math>F</math> — первообразная [[Функция, имеющая первообразную|интегрируемой непрерывной функции]] <math>f</math>, то:
: <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).</math>
Это соотношение называется [[Формула Ньютона — Лейбница|формулой Ньютона — Лейбница]].

Технически нахождение первообразной заключается в вычислении [[Неопределённый интеграл|неопределённого интеграла]] для <math>f(x)</math>, а сам процесс называется '''интегрированием'''. О применении этой теории в геометрии см. [[Интегральное исчисление]].

Пример: функция <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math> является первообразной для <math>f(x) = x^2,</math> потому что <math>F'(x)=f(x).</math>

== Неоднозначность ==
[[Файл:Slope Field.png|thumb| [[Поле направлений]] функции <math>F(x) = \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+c</math>, показывающий три решения [[Постоянная интегрирования|постоянной интегрирования]] {{mvar|c}}.]]
Если <math>F</math> — первообразная для <math>f</math>, то любая функция, полученная из <math>F</math> добавлением [[Математическая константа|константы]]: <math>G(x) = F(x) + C</math> тоже является первообразной для <math>f</math>. Таким образом, если функция имеет первообразную, то она входит в целое семейство первообразных<ref name=ME/> <math>F(x) + C,</math> которое называется '''[[Неопределённый интеграл|неопределённым интегралом]]''' <math>f(x)</math> и записывается в виде интеграла без указания пределов:

: <math>\int f(x)\, dx</math>

Верно и обратное: если <math>F</math> — первообразная для <math>f</math>, и функция <math>f</math> определена на каком-либо [[интервал (математика)|интервале]], тогда каждая первообразная <math>G</math> отличается от <math>F</math> на константу: всегда существует число <math>C</math>, такое что <math>G(x) = F(x) + C</math> для всех <math>x</math>. [[График функции|Графики]] таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от [[значение|значения]] <math>C.</math> Число <math>C</math> называют [[постоянная интегрирования|постоянной интегрирования]].

Например, семейство первообразных для функции <math>x^2</math> имеет вид: <math>F(x) = \frac{x^3}{3}+C</math>, где <math>C</math> — любое число.

Если область определения функции <math>f</math> не является сплошным интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу{{sfn |Шибинский|2007|с=139—140}}. Так, например, функция <math>\frac{1}{x^2}</math> не существует в нуле, поэтому её [[область определения]] состоит из двух интервалов: <math>x>0</math> и <math>x<0.</math> Соответственно получаются два независимых семейства первообразных на этих интервалах: <math>-\frac{1}{x}+\hat C</math>, где <math>\hat C</math> является константой при <math>x>0</math> и, вообще говоря, другой константой при <math>x<0</math>:
: <math>\hat C (x) = \left\{
\begin{aligned}
C_1, \text{ если } x<0\\
C_2, \text{ если } x>0
\end{aligned}
\right.</math>

== Существование ==
Каждая [[непрерывная функция]] <math>f</math> имеет первообразную <math>F</math>, одна из которых представляется в виде интеграла от <math>f</math> с переменным верхним пределом:

: <math>F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.</math>

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, <math>f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}</math> с <math>f(0) = 0</math> не непрерывна при <math>x = 0</math>, но имеет первообразную <math>F(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}</math> с <math>F(0) = 0</math>. Для разрывных ограниченных функций вместо [[Интеграл Римана|интеграла Римана]] удобно использовать более общий [[интеграл Лебега]]. Необходимыми условиями существования первообразной являются принадлежность функции <math>f</math> первому [[класс Бэра|классу Бэра]] и выполнение для неё [[свойство Дарбу|свойства Дарбу]]<ref name=ME/>.

Многие первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через [[элементарные функции]] (то есть через [[многочлен]]ы, [[экспоненциальная функция|экспоненциальные функции]], [[логарифм]]ы, [[тригонометрические функции]], [[обратные тригонометрические функции]] и их комбинации). Например:

: <math>\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx</math>.

Для таких функций интеграл от них, если он существует, может быть вычислен приближённо с помощью [[численное интегрирование|численного интегрирования]].

== Свойства первообразной ==
* Первообразная суммы функций равна сумме первообразных для слагаемых.
* Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции.
* У всех функций, непрерывных на отрезке, существуют и первообразная, и [[Интеграл Римана|интеграл по Риману]]. Однако в общем случае существование первообразной и интегрируемость функции не связаны<ref>{{книга|автор = Гелбаум, Б., Олмстед, Дж.|заглавие = Контрпримеры в анализе|оригинал = Counterexamples in Analysis|место = {{М.}}|издательство = ЛКИ|год = 2007|страниц = 258|isbn = 978-5-382-00046-6|страницы=57, 51}}</ref>:
** [[Функция знака]] (sgn) интегрируема по Риману, но не имеет первообразной (из-за разрыва в нуле).
** У функции <math>f(x)=x^2 \sin\frac{1}{x^2}</math> (положим также <math>f(0)=0</math>) на отрезке <math>[-1,1]</math> имеется конечная производная <math>g(x);</math> таким образом, у функции <math>g(x)</math> существует первообразная (а именно, <math>f(x)</math>), но <math>g(x)</math> не ограничена на <math>[-1,1]</math> и поэтому не интегрируема по Риману.

== Техника интегрирования ==
{{main|Методы интегрирования}}
{{also|Список интегралов элементарных функций}}
Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

* линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
* [[интегрирование подстановкой]], часто применяемое вместе с [[тригонометрическое тождество|тригонометрическими тождествами]] или [[натуральный логарифм|натуральным логарифмом]],
* [[интегрирование по частям]] для операций с произведениями функций,
* [[метод обратной цепочки]], особый случай интегрирования по частям,
* метод [[интегрирование рациональных дробей|интегрирования рациональных дробей]] позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
* [[алгоритм Риша]] — алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
* некоторые интегралы можно найти в таблицах, см. [[:Категория:Списки интегралов]],
* при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. [[двойной интеграл|двойной интеграл и полярные координаты]], [[Якобиан]] и [[теорема Стокса]],
* [[Система компьютерной алгебры|Системы компьютерной алгебры]] помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |ref=Выгодский |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |издание=12-е изд.
|заглавие=Справочник по высшей математике |место=М. |издательство=Наука |год=1977 |страниц=872 }}
* {{книга |ref=Фихтенгольц |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]
|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах |том=2
|издание=Изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |страниц=800 }}
* {{книга |автор=Шибинский В. М. |ref=Шибинский
|заглавие=Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие
|место=М. |издательство=Высшая школа |год=2007 |страниц=543 |isbn=978-5-06-005774-4 }}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20080704114104/http://integrals.wolfram.com/ Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн] с помощью системы [[Mathematica]]
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн] {{Wayback|url=http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral |date=20081201045032 }}
* [http://ru.numberempire.com/integralcalculator.php Онлайн Калькулятор Интегралов] {{Wayback|url=http://ru.numberempire.com/integralcalculator.php |date=20100106015427 }}
{{вс}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Интегралы]]

Первообразная - История изменений

imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)