imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T07:49:13Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

[[Файл:Параллелограмм.svg|мини|Параллелограмм]]
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный + {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. Существуют другие варианты определения{{переход|Признаки параллелограмма}}.

{{Якорь|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.

== Свойства ==
[[Файл:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]]
[[Файл:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма <math>a, b</math> и опущенные на них высоты <math>h_a, h_b</math> соотносятся следующим образом:
: <math>\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}</math>

[[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
: <math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2)</math>,
где <math>a</math> и <math>b</math> — длины смежных сторон, а <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей.
Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

[[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]).

== Признаки параллелограмма ==
[[Четырёхугольник]] <math>\square ABCD</math> является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
* у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD</math> и <math>AB \parallel CD</math>;
* все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C</math> и <math>\angle B = \angle D</math>;
* у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD</math> и <math>BC=DA</math>;
* все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD</math> и <math>BC \parallel DA</math>;
* диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC</math> и <math>BO = OD</math>, где <math>O</math> — точка пересечения диагоналей;
* сумма [[Средняя линия|средних линий]] выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
* сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.

== Площадь параллелограмма ==
[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]]
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)|высоту]]: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и [[синус]]а угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>.

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>{{Cite web |url=https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |title=Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона |access-date=2023-10-26 |archive-date=2022-04-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220403054009/https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |url-status=live }}</ref>:
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>,
где <math>p=(a+b+d)/2</math>.

== Примечания ==
{{Викисловарь|параллелограмм}}
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
|страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}}

== Ссылки ==
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Parallelogram|urlname=Parallelogram}}}}

{{Многоугольники}}
{{ВС}}

[[Категория:Четырёхугольники]]

Параллелограмм - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}