imported>Vlassover: /* Значение */ Пунктуация — пробелы, скобки, точки

2025-11-17T08:42:42Z

Значение: Пунктуация — пробелы, скобки, точки

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5

2025-09-04T18:48:29Z

Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5

Новая страница

{{значения}}
[[Файл:otrezok.svg|thumb|250px|right|Отрезок ''AB'' (выделен красным)]]
'''Отре́зком''' называются два близких понятия: в [[геометрия|геометрии]] и [[математический анализ|математическом анализе]].

== Отрезок в геометрии ==
В [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] '''отрезок прямой''' — часть [[прямая|прямой]], ограниченная двумя [[Точка (геометрия)|точками]]. Точнее: это [[множество]], состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются '''''концами отрезка''''') и всех точек, [[Выпуклое метрическое пространство|лежащих между]] ними (которые называются его '''''внутренними''''' точками). Отрезок, концами которого являются точки <math>A</math> и <math>B</math>, обозначается символом <math>AB</math>. [[Метрическое пространство|Расстояние]] между концами отрезка называют его '''''длиной''''' и обозначают <math>AB</math> или <math>|AB|</math>.

=== Направленный отрезок ===
{{Основная статья|Вектор (геометрия)}}
Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки <math>AB</math> и <math>BA</math> представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется '''направленным отрезком''' или '''закреплённым вектором'''<ref>{{cite web|url=http://matematika.electrichelp.ru/vektornaya-algebra/|title=Формулы и уравнения векторной алгебры|access-date=2025-07-24|archive-date=2024-06-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20240621132711/http://matematika.electrichelp.ru/vektornaya-algebra/|url-status=live}}</ref>. Например, направленные отрезки <math>AB</math> и <math>BA</math> не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию '''[[Вектор (геометрия)#Виды векторов|свободного вектора]]''' — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только [[Параллельный перенос|параллельным переносом]], которые принимаются равными.

== Отрезок числовой прямой ==
{{main|Промежуток (математика)}}
'''[[Промежуток (математика)#Замкнутый конечный промежуток|Отрезок числовой (координатной) прямой]]''' (иначе '''числовой отрезок''', '''сегмент''') — множество [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\{x\}</math>, удовлетворяющих неравенству <math>a \le x \le b</math>, где заранее заданные вещественные числа <math>a</math> и <math>b</math> <math>(a<b)</math> называются '''''концами''''' ('''''[[Граница множества|граничными точками]]''''') отрезка. В противоположность им, остальные числа <math>x</math>, удовлетворяющие неравенству <math>a<x<b</math>, называются '''''[[Внутренность|внутренними точками]]''''' отрезка<ref name="ilyin">{{книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 2. Вещественные числа
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный = {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 53
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
|archive-date = 2015-06-23
|archive-url = https://web.archive.org/web/20150623071551/http://sci-lib.com/book000401.html
}}</ref>.

Отрезок обычно обозначается <math>[a, b]</math>:
: <math>[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}</math>.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым [[Промежутки (математика)|промежутком]].

Число <math>|a-b|=b-a</math> называется '''''длиной''''' числового отрезка <math>[a, b]</math>.

=== Стягивающаяся система сегментов ===
'''''Система сегментов''''' — это бесконечная [[последовательность]] элементов множества отрезков на числовой прямой <math>\{[a, b] | a, b \in \R \land a < b\}</math>.

Система сегментов обозначается <math>\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}</math>. Подразумевается, что каждому [[Натуральное число|натуральному числу]] <math>n</math> поставлен в соответствие отрезок <math>[a_n, b_n]</math>.

Система сегментов <math>\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}</math> называется '''''стягивающейся''''', если<ref name="ilyin-3">{{книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 3. Теория пределов
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный = {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 68—105
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
|archive-date = 2015-06-23
|archive-url = https://web.archive.org/web/20150623071551/http://sci-lib.com/book000401.html
}}</ref>
* каждый следующий отрезок [[Подмножество|содержится]] в предыдущем;
*: <math>\forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]</math>
* соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
*: <math>\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0</math>

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.
: <math>\forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n]</math>

Этот факт следует из свойств [[Монотонная последовательность|монотонной]] [[Ограниченная последовательность|ограниченной]] последовательности<ref>''[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А. Я.]]'' Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 30-31</ref>.

=== Неперекрывающиеся отрезки ===
Два отрезка называются ''неперекрывающимися'', если они пересекаются не более чем по одной точке.

Множество отрезков, в котором любые два отрезка не перекрываются, называется ''системой неперекрывающихся отрезков''.

Конечная система неперекрывающихся отрезков, каждый из которых включается в отрезок <math>[a;b]</math>, называется ''подразбиением'' отрезка <math>[a;b]</math>.

Подразбиение отрезка <math>[a;b]</math> такое, что его объединение даёт весь отрезок <math>[a;b]</math>, называется ''разбиением'' отрезка <math>[a;b]</math><ref>* {{книга |автор= Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П.|заглавие= Обобщённые интегралы|язык=ru |издание= 2-е изд|место= М.|издательство= Книжный дом «ЛИБРОКОМ»|
год= 2011|страниц= 280 с.|страницы=18|isbn= 978-5-397-02028-2|ref= Лукашенко, Скворцов, Солодов}}</ref>.

== См. также ==
* [[Промежуток (математика)#Открытый конечный промежуток|Интервал]]
* [[Промежутки (математика)|Промежуток]]
* [[Алгоритмы построения отрезка]]
* [[Прямая]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Элементарная математика]]

Отрезок - История изменений

imported>Vlassover: /* Значение */ Пунктуация — пробелы, скобки, точки

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5