imported>Alex NB OT: унификация языковых шаблонов, замена устаревших имён параметров (2)

2025-11-15T11:08:44Z

унификация языковых шаблонов, замена устаревших имён параметров (2)

Новая страница

'''Откры́тое мно́жество''' — это [[множество]], каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой [[окрестность]]ю (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность [[шар]]а (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к [[подмножество|подмножествам]] [[топологическое пространство|топологических пространств]] и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле [[теория множеств|теории множеств]], ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры)<ref>
{{статья
|автор = Appert, Antoine.
|заглавие = Sur le meilleur terme primitif en topologie
|ссылка = http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CSHM_1982__3__63_0
|издание = Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques
|год = 1982
|номер = 3
|страницы = 65
|язык = fr
|archive-url = https://web.archive.org/web/20090217032957/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CSHM_1982__3__63_0
|archive-date = 2009-02-17
}}
</ref><ref>[http://everything2.com/title/open+set open set] {{Wayback|url=http://everything2.com/title/open+set |date=20090822234406 }} на everything2.com{{ref|en}}</ref>.
Открытое множество является фундаментальным понятием [[общая топология|общей топологии]].

== Евклидово пространство ==
Пусть <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> есть некоторое [[Множество|подмножество]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]]. Тогда <math>U</math> называется открытым, если <math>\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,</math> такое что <math>V_{\varepsilon}(x_0) \subset U</math>, где <math>V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \left\{x \in \mathbb{R}^n:\|x - x_0 \| < \varepsilon\right\}</math> — [[ε-окрестность]] точки <math>x_0.</math>

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является [[Внутренняя точка|внутренней]].

Например, [[Интервал (математика)|интервал]] <math>(a,b)</math> как подмножество [[Действительная прямая|действительной прямой]] является открытым множеством. В то же время отрезок <math>[a,b]</math> или полуинтервал <math>[a,b)</math> не являются открытыми, так как точка <math>a</math> принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

== Метрическое пространство ==

Пусть <math> (X,\rho) </math> — некоторое [[метрическое пространство]], и <math>U \subset X</math>. Тогда <math>U</math> называется открытым, если <math>\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,</math> такое что <math>V_{\varepsilon}(x_0) \subset U</math>, где <math>V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < \varepsilon\}</math> — ε-окрестность точки <math>x_0</math> относительно [[Метрика (метрическая геометрия)|метрики]] <math>\rho</math>. Другими словами, множество <math>U</math> в метрическом пространстве <math> (X,\rho) </math> называется открытым множеством, если каждая точка <math>x_{0}</math> множества <math>U</math> входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке <math>x_{0}</math><ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Математический анализ. Специальный курс.
— М.: Физматлит, 1961. — C. 29</ref>.

== Топологическое пространство ==
Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

[[Топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math> по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств <math>\mathcal{T}</math> — [[топология (семейство множеств)|«топологию»]], определённую на <math>X</math>. Подмножество <math>U \subset X</math>, такое, что оно является элементом топологии (то есть <math>U \in \mathcal{T}</math>), называется открытым множеством ''относительно топологии <math>\mathcal{T}</math>''.

Важный подкласс открытых множеств образуют '''канонически открытые множества''', каждое из которых является [[внутренность]]ю (''открытым ядром'') какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество <math>G</math> содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества <math>G</math> <ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]], Пасынков В. А. |заглавие=Введение в теорию размерности|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=576}} — C. 24—25.</ref>.

==История==

Открытые множества были введены [[Бэр, Рене-Луи|Рене-Луи Бэром]] в 1899 году.<ref>R. Baire. “Sur les fonctions de variables réelles”. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), pp. 1–123.
</ref>

== См. также ==
* [[Замкнутое множество]]
* [[Граница подмножества]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Математический анализ]]

Открытое множество - История изменений

imported>Alex NB OT: унификация языковых шаблонов, замена устаревших имён параметров (2)