imported>MBHbot: {Нп3|Чеппл, Уильям|Уильяма Чеппла|en|William Chapple (surveyor)}->[Чаппл, Уильям|Уильяма Чеппла]

2026-03-01T22:01:05Z

{Нп3|Чеппл, Уильям|Уильяма Чеппла|en|William Chapple (surveyor)}->[Чаппл, Уильям|Уильяма Чеппла]

Новая страница

{{Центр треугольника
| название = Ортоцентр
| изображение = Triangle.Orthocenter.svg
| описание изображения = Высоты и ортоцентр
| барицентрические координаты = <math>\tan A : \tan B : \tan C</math>
| трилинейные координаты = <math>\frac{1}{\cos A} : \frac{1}{\cos B} : \frac{1}{\cos C}</math>
| код ЭЦТ = X(4)
| изогонально сопряженная = [[центр описанной окружности]]
| дополнительная = [[центр описанной окружности]]
| антидополнительная = {{iw|точка де Лоншама||en|de Longchamps point}}
}}
'''Ортоцентр''' (от {{lang-grc|ὀρθός}} «прямой») — точка пересечения [[высота треугольника|высот треугольника]] или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой <math>H</math>. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относится к [[Замечательные точки треугольника|замечательным точкам треугольника]] и перечислен в [[Энциклопедия центров треугольника|энциклопедии центров треугольника]] [[Кимберлинг, Кларк|Кларка Кимберлинга]] как точка X(4).

== Свойства ==
* Если в четвёрке точек <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> точка <math>D</math> является точкой пересечения высот треугольника <math>ABC</math>, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют '''ортоцентрической системой точек''' (см. рис.).
** Более того, при любом разбиении множества ''ортоцентрической системы точек'' <math>\{A,B,C,D\}</math> на две пары, например, <math>\{B,C\}</math> и <math>\{A,D\}</math> или при любом другом подобном разбиении, всегда перпендикулярны образующиеся два отрезка прямых с концами в данных точках множеств (в нашем случае <math>BC</math> перпендикулярно <math>AD</math>) независимо от выбора этих двух пар
** Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ''ортоцентрической системы'', равны (следствие [[Теорема Гамильтона|теоремы Гамильтона]] для [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]). Их часто называют [[Окружности Джонсона|окружностями Джонсона]].
** Последнее утверждение можно сформулировать так: Три отрезка прямых, соединяющих ''ортоцентр'' с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей (следствие [[Теорема Гамильтона|теоремы Гамильтона]] для [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]). При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
[[Файл:Симметрия ортоцентра относительно сторон.svg|thumb|Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон, лежат на описанной окружности.]]
* ''Ортоцентр'' лежит на одной прямой с [[центроид]]ом, центром ''описанной окружности'' и центром [[окружность девяти точек|окружности девяти точек]] (см. [[прямая Эйлера]]).
* ''Ортоцентр'' остроугольного треугольника является центром окружности, [[Вписанная окружность|вписанной]] в его [[ортотреугольник]].
* Центр [[Описанная окружность|описанной]] около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют [[Дополнительный треугольник|дополнительным треугольником]] по отношению к первому треугольнику.
* Последнее свойство можно сформулировать так: Центр [[Описанная окружность|описанной]] около треугольника окружности служит ''ортоцентром'' [[Дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]].
* Точки, симметричные ''ортоцентру'' треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности (см. рисунок){{sfn|Honsberger|1995|p=18}}.
* Точки, симметричные ''ортоцентру'' треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
* Если <math>O</math> — центр описанной окружности <math>\triangle ABC</math>, то <math>\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}</math>.
** <math>OH=\sqrt{R^2-8R^2\cos A \cos B \cos C}=\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)} </math><ref>Marie-Nicole Gras, «Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers»,
''Forum Geometricorum'' 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html {{Wayback|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html |date=20210428144211 }}</ref><ref name=SL>Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 436—452.</ref>{{rp|p. 449}}, где <math>R</math> — радиус [[Описанная окружность|описанной окружности]]; <math>a, b, c</math> — длины сторон треугольника; <math>A, B, C</math> — внутренние углы треугольника.
* При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
* Любой отрезок, проведенный из ''ортоцентра'' до пересечения с [[описанная окружность|описанной окружностью]], всегда делится [[окружность Эйлера|окружностью Эйлера]] пополам. Это следует из того, что ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей с коэффициентом <math>1/2</math>.
* Четыре попарно пересекающиеся прямые, никакие три из которых не проходят через одну точку (четырёхсторонник), при пересечении образуют четыре треугольника. Их ''ортоцентры'' лежат на одной прямой (''[[Прямая Обера|на прямой Обера]]'').
* Если считать, что ''ортоцентр'' треугольника делит первую высоту на части длиной <math>u</math> и <math>v</math>, вторую высоту на части длиной <math>w</math> и <math>x</math>, третью высоту на части длиной <math>y</math> и <math>z</math>, тогда <math>uv=wx=yz</math>{{sfn|Altshiller-Court|2007|p=94}}{{sfn|Honsberger|1995|p=20}}.
* Цепочка уравнений в последнем пункте: <math>uv=wx=yz</math> по сути означает, что три пары отрезков, на которые ''ортоцентр'' разделяет три высоты остроугольного треугольника, подчиняются ''правилу хорд'', пересекающихся внутри окружности, например: <math>uv=wx</math>. Отсюда автоматически следует то, что через четыре конца любых двух высот остроугольного треугольника всегда можно провести окружность (высоты в ней будут пересекающимися хордами). Оказывается, это утверждение сохраняет силу и для тупоугольного, и прямоугольного треугольников.
* Расстояние от стороны до ''центра описанной окружности'' равно половине расстояния от противоположной ей вершины до ''ортоцентра''{{sfn|Altshiller-Court|2007|p=99}}{{sfn|Honsberger|1995|p=17, 23}}.
* Сумма квадратов расстояний от вершин до ''ортоцентра'' плюс сумма квадратов сторон равна двенадцати квадратам ''радиуса описанной окружности''{{sfn|Altshiller-Court|2007|p=102}}.
* Три основания высот остроугольного треугольника или три проекции ''ортоцентра'' на стороны треугольника образуют [[ортотреугольник]].
[[Файл:Orthic Axis ru.svg|thumb|300px|''Ортоцентрическая ось'' (''Orthic axis'') — трилинейная поляра ''ортоцентра'']]

* [[Трилинейные поляры треугольника|Трилинейной полярой]] ''ортоцентра'' является '''ортоцентрическая ось''' <math>DEF</math> (Orthic axis) (см. рис.)
* Четыре ортоцентра четырёх [[треугольник]]ов, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку, лежат на одной прямой ('''[[Прямая Обера]] [[четырёхугольник]]а)'''. Здесь используются те же четыре [[треугольник]]а, что и при построении [[Точка Микеля|точки Микеля]].
* Существует [[формула Карно]]<ref>{{книга |автор=Зетель С. И. |название=Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей |издание=2-е изд |место=М. |издательство=Учпедгиз |год=1962 |страницы=120—125 (задача), параграф 57, с. 73 |язык=ru}}</ref>:
*: <math>R+r=k_a+k_b+k_c=\frac12(d_A+d_B+d_C)</math>,
: где <math>k_a</math>, <math>k_b</math>, <math>k_c</math> — расстояния от центра [[описанная окружность|описанной окружности]] соответственно до сторон <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> треугольника, <math>d_A</math>, <math>d_B</math>, <math>d_C</math> — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> треугольника.

*: <math>d_A+d_B+d_c=\frac{2abc+(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}</math>
(при условии, что ортоцентр лежит внутри треугольника).

* Расстояние от центра описанной окружности до стороны <math>a</math> равно:
*: <math>k_a=\frac a{2\operatorname{tg}A}</math>;
* расстояние от ортоцентра до вершины <math>A</math> равно:
*: <math>d_A=\frac a{\operatorname{tg}A}</math>.

[[Файл:Orthosystem SVG.svg|thumb|150px|В ортоцентрической системе 4 точек любая точка является ортоцентром треугольника, образованного 3 остальными точками.]]
* '''Ортоцентрическая система'''. Здесь O1, O2, O3 и O4 — центры окружностей четырех возможных треугольников, образованных из ортоцентрических точек A1, A2, A3 и A4 (см. рис.). Три из них вершины исходного треугольника, а четвертая — его ортоцентр. Радиусы всех четырех окружностей равны. Центры трех из четырех окружностей (кроме описанной исходного треугольника) образуют вершины треугольника, равного исходному, со сторонами, попарно параллельными сторонам исходного треугольника.

[[Файл:Orthocentric system and their circumcenters.PNG|thumb|right|250px|'''Ортоцентрическая система'''. Здесь O1, O2, O3 и O4 — центры окружностей четырех возможных треугольников, образованных из ортоцентрических точек A1, A2, A3 и A4.]]
* *Если прямая ''ℓ'' [[ортополюс]]а ''P'' проходит через ''ортоцентр Q'' треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка ''PQ'', соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном ''PQ'', лежит на [[окружность Эйлера|окружности Эйлера]] этого треугольника.<ref>College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Пункт. 699. Теорема. Fig. 156. С.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.</ref>

== История ==
Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ''ортоцентром'', в [[Начала (Евклид)|«Началах» Евклида]] отсутствует. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «[[Леммы|Книге лемм]]» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл.

Часть историков приписывает это утверждение [[Архимед]]у и называют его ''теоремой Архимеда''<ref>[[Ефремов, Дмитрий Дмитриевич|Ефремов Д.]] Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. С. 9, п. 16. Высоты треугольника. Теорема Архимеда.</ref>. До середины девятнадцатого века, ''ортоцентр'' нередко называли ''архимедовой точкой''<ref>{{cite web|author=Maureen T. Carroll, Elyn Rykken|title=Geometry: The Line and the Circle |url=https://books.google.ru/books?id=CmuBDwAAQBAJ&pg=PA228&dq=archimedean+point+orthocenter&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwiLr6Hhq97oAhXL0qYKHT16ASYQ6AEIKjAA#v=onepage&q=archimedean%20point%20orthocenter&f=false|accessdate=2020-04-10}}</ref>.

В явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у [[Прокл Диадох|Прокла]] (410—485) — комментатора Евклида<ref>Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, § 175.</ref>.

Другие историки математики считают автором первого доказательства [[Чаппл, Уильям|Уильяма Чеппла]] (''Miscellanea Curiosa Mathematica'', 1749 год)<ref>{{citation|url=https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml|title=A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes|work=Cut The Knot|first=Alexander|last=Bogomolny|accessdate=2019-11-17|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507024551/https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml|url-status=dead}}</ref>.

Термин ''ортоцентр'' впервые был использован {{Нп3|Безант, У. Х.|У. Х. Безантом|en|W. H. Besant}} в работе «Конические сечения, исследованные геометрически (1869)» (<ref>Conic Sections Treated Geometrically, 1869. Ссылка: 1895: [http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=00630002 Conic sections treated geometrically] {{Wayback|url=http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=00630002 |date=20180418140732 }} from Cornell University Historical Math Monographs.</ref>)<ref>Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. § 176, p. 94; § 176, p. 298</ref>.

== См. также ==
* [[Высота треугольника]]
* [[Высота (геометрия)]]
* [[Замечательные точки треугольника]]
* [[Центр вписанной окружности]]
* [[Ортотреугольник]]
* [[Ортоцентроидная окружность]]
* [[Центроид]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|37—39|1}}
* {{книга
|автор = Nathan Altshiller-Court
|заглавие = College geometry : an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle
|издательство = Dover Publications, Inc.
|год = 2007
|isbn = 0-486-45805-9
|ref = Altshiller-Court
|ссылка = https://books.google.com/books?id=7wc_AwAAQBAJ&pg=PA94
}}
* {{книга
|автор = Ross Honsberger
|заглавие = Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|издательство = [[Mathematical Association of America]]
|год = 1995
|серия = New Mathematical Library
|volume = 37
|isbn = 0-88385-639-5 (Vol. 37)
|isbn2 = 0-88385-600-X (complete set)
|ref = Honsberger
|pages = 17—26
|ссылка = https://books.google.com/books?id=7vcrmWEV73AC&pg=PA17
}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20070502052029/http://home-edu.ru/user/f/00000568/zpt/lesson9.htm Живой чертёж]
* {{mathworld|urlname=Orthocenter|title=Orthocenter}}
* Bernard Gibert [http://perso.orange.fr/bernard.gibert/Exemples/k006.html Circumcubic K006]{{Недоступная ссылка|date=октября 2021 |bot=InternetArchiveBot }}
* Clark Kimberling, «[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of triangle centers]».
* Weisstein, Eric W. «Orthocentric System.» From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/OrthocentricSystem.html]

{{Треугольник}}

[[Категория:Замечательные точки треугольника]]
[[Категория:Точки в Энциклопедии центров треугольника]]

Ортоцентр - История изменений

imported>MBHbot: {Нп3|Чеппл, Уильям|Уильяма Чеппла|en|William Chapple (surveyor)}->[Чаппл, Уильям|Уильяма Чеппла]