imported>Tosha в 21:37, 30 апреля 2023

2023-04-30T21:37:59Z

Новая страница

[[Файл:Altitudes and orthic triangle SVG.svg|320px|right]]
'''Ортотреуго́льник''' (или '''ортоцентрический треугольник''') — [[треугольник]] <math>\triangle abc</math>, вершины которого являются основаниями [[Высота треугольника|высот]] исходного треугольника <math>\triangle ABC</math>. Для '''ортотреуго́льника''' <math>\triangle abc</math> исходный треугольник <math>\triangle ABC</math> является [[треугольник трёх внешних биссектрис|треугольником трёх внешних биссектрис]]. Точка пересечения высот исходного треугольника <math>\triangle ABC</math> называется [[ортоцентр]]ом и является центром вписанной окружности '''ортотреуго́льника''' <math>\triangle abc</math>.

== Свойства ==
* '''[[Задача Фаньяно]]''': ортотреугольник остроугольного треугольника <math>\triangle ABC</math> обладает наименьшим [[периметр]]ом из всех вписанных треугольников.
* '''[[Окружность девяти точек]]''': окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника <math>\triangle ABC</math>, проходит через середины сторон треугольника Δ<math>ABC</math> и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника <math>\triangle ABC</math>. Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Δ<math>ABC</math>.
* Высоты остроугольного треугольника являются [[биссектриса]]ми углов его ортотреугольника.
* Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является [[треугольник трёх внешних биссектрис|треугольником трёх внешних биссектрис]] своего ортотреугольника.
* [[Ортоцентр]] остроугольного треугольника является центром окружности, [[вписанная окружность|вписанной]] в его ортотреугольник.
* Если точки <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math> на сторонах соответственно <math>BC</math>, <math>AC</math> и <math>AB</math> остроугольного треугольника Δ<math>ABC</math> таковы, что <math>\angle BA_1 C_1 = \angle CA_1 B_1</math>, <math>\angle CB_1 A_1 = \angle AB_1 C_1</math> и <math>\angle AC_1 B_1 = \angle BC_1 A_1</math>, то <math>A_1 B_1 C_1</math> — ортотреугольник треугольника <math>\triangle ABC</math>.
* Ортотреугольник треугольника Δ<math>ABC</math> отсекает при вершинах <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> треугольники, подобные треугольнику Δ<math>ABC</math> с коэффициентами подобия соответственно <math>|cos(\angle A)|</math>, <math>|cos(\angle B)|</math>, <math>|cos(\angle C)|</math>.
* Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
* Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют ''[[Тангенциальный треугольник|тангенциальным треугольником]]'' по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.

=== Свойства подобия родственных треугольников ===
[[Файл:Треугольник Жергонна ортотреугольника.svg|мини|<math>\triangle A_1B_1C_1 </math> — ортотреугольник треугольника <math>\triangle ABC</math>, а <math>\triangle A_2B_2C_2</math>— треугольник Жергонна ортотреугольника. <math>H</math>— ортоцентр <math>\triangle ABC</math>, [[Центр вписанной окружности|инцентр]] <math>\triangle A_1B_1C_1 </math>и центр описанной окружности <math>\triangle A_2B_2C_2</math>. Треугольники <math>\triangle ABC</math> и <math>\triangle A_2B_2C_2</math> подобны.]]
* ''Ортотреугольник'' и ''[[тангенциальный треугольник]]'' подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
* ''[[Точка Жергонна|Треугольник Жергонна]]'' ''ортотреугольника'' и ''исходный треугольник'' подобны (см. рисунок).
* ''[[Треугольник трёх внешних биссектрис]]'' ''треугольника трех внешних биссектрис'' и ''исходный треугольник'' подобны.
* ''Ортотреугольник'' [[Точка Жергонна|треугольника Жергонна]] и исходный треугольник подобны.
* Выше указанные ''свойства подобия родственных треугольников'' являются следствием ниже перечисленных ''свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников''.

=== Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников ===
* Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ''ортотреугольника'', против которых они лежат.
* Стороны ''[[Тангенциальный треугольник|тангенциального треугольника]]'' антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
* Стороны ''[[Тангенциальный треугольник|тангенциального треугольника]]'' параллельны соответствующим сторонам ''ортотреугольника''.
* Если точки касания [[Вписанная окружность|вписанной в данный треугольник окружности]] соединены отрезками, то получится [[Точка Жергонна|треугольник Жергонна]]. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ''ортотреугольник'' [[Точка Жергонна|треугольника Жергонна]] и исходный треугольник подобны.

=== Другие свойства ===
* Площадь ортотреугольника равна:
: <math>S_{ort}=\frac{S}{(2abc)^2}(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)</math>
где <math>S</math> — площадь треугольника Δ''ABC''; <math>a, b, c</math> — его соответствующие стороны.

* Окружность, описанная около ортотреугольника Δ''abc'', для самого треугольника Δ''ABC'' является [[Окружность Эйлера|окружностью Эйлера]] (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами ''[[Дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]]'' для треугольника Δ''ABC''.
* Радиусы окружности, описанной около данного треугольника Δ''ABC'', проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ''ортотреугольника'' Δ''abc'' (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

== Литература ==
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|38-39|1}}
* Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

[[Категория:Виды треугольников]]

Ортотреугольник - История изменений

imported>Tosha в 21:37, 30 апреля 2023