imported>Roxiffe-bot: удаление зацикленных ссылок

2025-05-04T23:05:52Z

удаление зацикленных ссылок

Новая страница

[[Файл:Triangle.NinePointCircle.svg|200px|thumb|9 точек]]
'''Окружность девяти точек''' — это [[окружность]], проходящая через середины всех трёх сторон [[треугольник]]а.

Она также называется '''окружностью [[Эйлер, Леонард|Эйлера]]''', '''окружностью [[Фейербах, Карл Вильгельм|Фейербаха]]''', '''окружностью шести точек''', '''окружностью'''
'''[[Теркем, Олри|Теркема]]''', '''окружностью n-точек''', '''полуописанной окружностью'''.

== Теорема-определение ==
[[Файл:Ortocenter and circumcircle.svg|thumb|200px|Треугольник, описанная вокруг него окружность (черная) и её центр (чёрный), высоты треугольника (часть высоты, расположенная внутри окружности Эйлера, синяя, а вне — её чёрная) и окружность девяти точек (синяя) и её центр (синий)]]
Окружность девяти точек получила такое название благодаря следующей теореме:

* Основания трёх [[высота (геометрия)|высот]] произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с [[ортоцентр]]ом, лежат все на одной окружности.

Иначе говоря, ''окружность девяти точек'' является описанной окружностью для следующих трёх треугольников:
* [[ортотреугольник]],
* [[дополнительный треугольник|серединный треугольник]],
* ''треугольник Эйлера'' (или ''треугольник Фейербаха'', ''треугольник Эйлера — Фейербаха'') — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины.

== Доказательство теоремы ==
* В статье [[Лемма о трезубце]] приведено доказательство существования окружности Эйлера при помощи данной леммы.

== Свойства ==
* [[Центр девяти точек|Центр ''окружности девяти точек'']] лежит на [[прямая Эйлера|прямой Эйлера]], точно в середине отрезка между [[ортоцентр]]ом и центром [[описанная окружность|описанной окружности]].[[Файл:9pcircle 04.png]]
* Из девяти точек на ''окружности Эйлера'' три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с [[ортоцентр]]ом (вершины ''треугольника Эйлера-Фейербаха''). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно [[центр девяти точек|центра окружности девяти точек]].
* Таким образом, [[центр девяти точек]] служит [[Центральная симметрия|центром симметрии]], переводящей [[серединный треугольник]] в ''треугольник Эйлера-Фейербаха'' (и наоборот)<ref>Dekov. Nine-point center// Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.— 2007.// http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf{{Недоступная ссылка|date=мая 2021 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>
* Диаметр ''окружности девяти точек'' равен радиусу [[описанная окружность|описанной окружности]].
* [[Описанная окружность]] есть образ ''окружности девяти точек'' относительно [[гомотетия|гомотетии]] с центром в [[ортоцентр]]е и коэффициентом 2. [[Файл:9pcircle03.svg]]
[[Файл:Nine-point circle.svg]]
* Последнее свойство гомотетичности (подобия) означает, что ''окружность девяти точек'' делит пополам любой отрезок, который соединяет [[ортоцентр]] с произвольной точкой, лежащей на [[описанная окружность|описанной окружности]].
* [[Теорема Фейербаха]]. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается [[вписанная окружность|вписанной]] и всех трёх [[вневписанная окружность|вневписанных окружностей]] этого треугольника.<ref name=Crilly>{{Книга|автор = Тони Крилли|isbn = 9785864716700|страниц = 209|издательство = Phantom Press|заглавие = Математика: 50 идей, о которых нужно знать|ссылка = https://books.google.com/books?id=fLEwBQAAQBAJ|оригинал = [https://books.google.com/books?id=XfYSKAAACAAJ 50 Mathematical Ideas you really need to know]|archive-date = 2016-06-18|archive-url = https://web.archive.org/web/20160618053251/https://books.google.com/books?id=fLEwBQAAQBAJ}}</ref>
* [[Теорема Мавло]].<ref>
{{ citation
|first=Мавло
|last=Д. П.
|title = Красивые свойства замечательных тел
|journal = Математика в школi
|location= Украина
|number = 3
|year= 2004
|pages = 265–269}}</ref>: треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом тремя своими сторонами три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг. Например, на рисунке выше [[теорема Мавло]] дает равенство: дуга ''IF''=дуга ''HE''+дуга ''GD.''
* В симметричном виде [[теорема Мавло]] может быть записана в виде:
*: <math>\smallsmile IF+ \smallsmile HE+ \smallsmile GD= 2\max\{\smallsmile IF,\smallsmile HE,\smallsmile GD\}.</math>
: Это эквивалентно тому, что наибольшая из трех дуг равна сумме двух других.
* Последнее свойство — аналог свойств для расстояний <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> от вершин [[Дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]] (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). до [[Теорема Фейербаха|точки Фейербаха]], а не для дуг. Аналогичное соотношение также встречается в [[Теорема Помпею|теореме Помпею]].
* [[Теорема Гамильтона]]. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник. ''Точкой Фейербаха'' считается наиболее близкая к вершине ''A'' отмеченная жирно точка на окружности.
[[Файл:Circ9pnt3.svg|right|thumb|250px|Иллюстрация к [[Теорема Фейербаха|теореме Фейербаха]]]]
* На описанной окружности треугольника <math>ABC</math> существуют ровно три точки, таких что их [[прямая Симсона]] касается окружности Эйлера треугольника <math>ABC</math>, причем эти точки образуют [[правильный треугольник]]. Стороны этого треугольника параллельны сторонам [[Теорема Морли|треугольника Морлея]].
* Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она [[Гипербола (математика)#Равнобочная гипербола|равнобочная]] (то есть её асимптоты перпендикулярны)<ref name=autogenerated1>{{Книга:Акопян-Заславский|2011}}</ref>. Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек<ref name=autogenerated1 />. Эта гипербола называется [[Гипербола Киперта|гиперболой Киперта]], а её центр обозначен в [[Энциклопедия центров треугольника|энциклопедии центров треугольника]] как Х(115).
*Если прямая ''ℓ'' [[ортополюс]]а проходит через центр [[описанная окружность|описанной окружности]] треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.<ref>{{cite web|url=https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA|title=The Orthopole|date=2017-01-21|publisher=|access-date=2020-06-22|archive-date=2020-06-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20200622193533/https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA|url-status=live}}</ref>
*Если прямая ''ℓ'' [[ортополюс]]а ''P'' проходит через [[ортоцентр]] ''Q'' треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка ''PQ'', соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном ''PQ'', лежит ''на окружности Эйлера (на окружности 9 точек)'' этого треугольника.<ref>College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Пункт. 699. Теорема. Fig. 156. С.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.</ref>
[[Файл:Kiepert hyperbola.png|right|thumb|250px|[[Гипербола Киперта]]]]
* Если ''ABCD'' — [[четырехугольник]], вписанный в некоторую окружность. ''EFG'' — диагональный треугольник для четырехугольника ''ABCD''. Тогда точка ''T'' пересечения бимедиан четырехугольника ''ABCD'' лежит на ''окружности девяти точек'' треугольника ''EFG''.

[[Файл:Nine-point circle of diagonal triangle.png|right|thumb|250px|Окружность 9 точек и диагональный треугольник]]

:В работе{{sfn|Fraivert|2019}} показано, что точка пересечения бимедиан четырехугольника, вписанного в некоторую окружность, принадлежит ''окружности Эйлера'' треугольника с одной вершиной в точке пересечения диагоналей четырехугольника и с двумя другими вершинами в точках пересечения продолжений его пар противоположных сторон.
* Для окружности девяти точек, которая — в числе прочих — носит и название «окружность Теркема», [[Теркем, Олри|Теркем]] доказал [[теорема Теркема|теорему Теркема]].<ref>''[[Ефремов, Дмитрий Дмитриевич|Дмитрий Ефремов]]''. [http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.djvu?djvuopts&page=17 Новая геометрия треугольника] {{Wayback|url=http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.djvu?djvuopts&page=17 |date=20200225055649 }}. — Одесса, 1902. — С. 16.</ref> Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

== Случаи взаимного расположения окружности девяти точек и описанной окружности ==
В треугольнике по отношению к [[описанная окружность|описанной окружности]] ''окружность девяти точек'' (или ''окружность Эйлера'') может располагаться следующим образом:
* Она касается ''описанной окружности'' в единственном случае, если [[прямоугольный треугольник|треугольник прямоугольный]]. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
* Она целиком лежит внутри ''описанной окружности'', если [[треугольник|треугольник остроугольный]].
* Она пересекает ''описанную окружность'' в двух разных точках, если [[треугольник|треугольник тупоугольный]].

== История ==
Эйлер в [[1765 год]]у доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано [[Фейербах, Карл Вильгельм|Карлом Фейербахом]] в [[1822 год в науке|1822 году]] (вместе с [[Теорема Фейербаха|теоремой]], носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее<ref name=Crilly />.

== Вариации и обобщения ==
* '''Четыре окружности девяти точек треугольников внутри [[четырёхугольник]]а'''. Известна теорема: ''В произвольном выпуклом четырёхугольнике <math>ABCD</math> окружности девяти точек треугольников <math>ABC,BCD,CDA,DAB</math>, на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке'' — в [[Точка Понселе|точке Понселе]].<ref>Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 9</ref>
* Известна теорема: ''Если в выпуклом четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (''окружность восьми точек четырёхугольника'') лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны''<ref>Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 11</ref>.

[[Файл:Nine point conic.svg|right|thumb|200px|[[Коника (геометрия)|Коника]] девяти точек]]

* Окружность девяти точек является частным случаем [[Коника девяти точек|коники девяти точек]]. Если точка ''P'' — ортоцентр треугольника ''ABC'', то ''коника девяти точек'' полного четырёхугольника ''PABC'' становится ''окружностью девяти точек''.

* '''16 окружностей Фейербаха, которых касается окружность 9 точек.''' На рисунке справа зелёным цветом показаны 16 известных окружностей Фейербаха, которые касаются окружности 9 точек, показанной красным цветом (сам треугольник показан чёрным цветом)
[[Файл:Tangent circles in Feuerbach's theorem.jpg|thumb|16 окружностей Фейербаха, которые касаются окружности 9 точек в системе с данным ортоцентром]]

== См. также (статьи, где упоминается ''окружность девяти точек'') ==
* [[Геометрия треугольника]]
* [[Глоссарий планиметрии]]
* [[Замечательные точки треугольника]]
* [[Окружность]]
* [[Ортополюс]]
* [[Прямая Симсона|Теорема Симсона]]
* [[Точка Понселе]]
* [[Треугольник#Отрезки и окружности, связанные с треугольником|Отрезки и окружности, связанные с треугольником]]
* [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера]]
* [[Треугольник]]
* [[Центр девяти точек]]
* [[Четырёхугольник]]
* [[Энциклопедия центров треугольника]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья|автор=[[Шарыгин, Игорь Фёдорович|Шарыгин И]]., Ягубьянц А.|заглавие=Окружность девяти точек и прямая Эйлера|ссылка=http://kvant.mccme.ru/1981/08/okruzhnost_devyati_tochek_i_pr.htm|язык=ru|издание=Квант|год=1981|том=|номер=8|страницы=34—37|doi=|issn=}}
* Дм. Ефремов. [https://web.archive.org/web/20050302151746/http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm Новая геометрия треугольника] 1902 год
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|48-50|1}}
* Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren{{lang-de|}}
* Мавло Д. П. Красивые свойства замечательных тел//Математика в школi. № 3, 2004. с. 265—269.
* {{статья
|автор= Dekov | first = Deko
|издание= Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry
|заглавие= Nine-point center
|url = http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf
|год= 2007
|ref= Dekov
}}
* {{статья
|автор=[[Fraivert David]].
|издание= The Mathematical Gazette
|заглавие= New points that belong to the nine-point circle
|url = https://doi.org/10.1017/mag.2019.53
|ссылка=https://doi.org/10.1017/mag.2019.53
|год= 2019
|том=103|номер=557|страницы=222-232
|ref= Fraivert
}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20041021162313/http://home-edu.ru/user/f/00000568/zpt/lesson13.htm Живой чертёж]

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Окружности]]
[[Категория:Теоремы планиметрии]]
[[Категория:Замечательные точки треугольника]]
[[Категория:Точки в Энциклопедии центров треугольника]]
[[Категория:Геометрические фигуры]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]

Окружность девяти точек - История изменений

imported>Roxiffe-bot: удаление зацикленных ссылок