imported>Alex NB OT: Форматирование дат согласно Википедия:Техническое соглашение о датах и времени и Википедия:Обсуждение правил/Википедия:Техническое соглашение о датах и времени

2025-08-23T06:18:47Z

Форматирование дат согласно Википедия:Техническое соглашение о датах и времени и Википедия:Обсуждение правил/Википедия:Техническое соглашение о датах и времени

Новая страница

'''Обра́тный элеме́нт''' — термин в [[Общая алгебра|общей алгебре]], обобщающий понятия [[Обратное число|обратного числа]] (для умножения) и [[Противоположное число|противоположного числа]] (для сложения).

== Определения ==
Пусть <math>(M,\cdot)</math> — [[множество]] <math>M,</math> на котором определена [[бинарная операция]], обозначаемая точкой (<math>\cdot</math>), с [[Нейтральный элемент|нейтральным элементом]] <math>e</math>. Пусть <math>x,y</math> — пара произвольных [[элемент множества|элементов множества]] <math>M</math>. Если справедливо [[Равенство (математика)|равенство]] <math> x \cdot y = e,</math> то <math>y</math> называется '''правым обратным''' (или '''обра́тным спра́ва''') к <math>x</math>.

Аналогичным образом, если выполнено равенство <math>y \cdot x = e,</math> то <math>y</math> называется '''левым обратным (обра́тным сле́ва)''' к <math>x.</math>

Элемент <math>y\in M</math>, являющийся обратным к <math>x</math> и справа, и слева, то есть такой, что<br> <math> x \cdot y = y \cdot x = e,</math><br>называется просто '''обратным''' к <math>x</math> и обозначается <math>x^{-1}</math>. Элемент, для которого существует обратный элемент, называется [[обратимый элемент|обратимым]].

== Замечания ==
* Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация <math>(M,+)</math>, то обратный элемент называется '''противополо́жным''' и обозначается <math>-x</math>.
* Вообще говоря, один и тот же элемент <math>x\in M</math> может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

== Свойства ==
Пусть операция <math>\cdot</math> [[Ассоциативная операция|ассоциативна]]. Тогда если для элемента <math>x\in M</math> определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

'''Следствие''': в [[моноид]]е у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют [[Группа (алгебра)|группу]]; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

== Примеры ==
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto" align="center"
!Множество!!Бинарная операция!!Обратный элемент
|-
|[[Вещественные числа]]||<math>+</math> ([[сложение]])||<math>-x</math> ([[противоположное число]])
|-
|Вещественные числа, не равные [[0 (число)|нулю]]||<math>\cdot</math> ([[умножение]]) ||<math>1/x</math> ([[обратное число]])
|-
|[[Функция (математика)|Функции]] вида <math>f:M\to M</math>|| <math>\circ</math> ([[композиция функций]])|| <math>f^{-1}</math> ([[обратная функция]])
|-
|}

== См. также ==
* [[Группа (математика)|Группа]]

{{нет ссылок|дата=2019-06-07}}

[[Категория:Общая алгебра]]

Обратный элемент - История изменений