imported>LGB: отмена правки 150671493 участника 81.28.218.210 (обс.)

2025-12-16T05:55:34Z

отмена правки 150671493 участника 81.28.218.210 (обс.)

Новая страница

'''Обра́тное число́''' (обратное значение, обратная величина) к данному числу ''x'' — это [[число]], [[умножение]] которого на ''x'' даёт [[1 (число)|единицу]]. Принятая запись: <math>\frac{1}{x^1}</math> или <math>x^{-1}</math>. Два числа, произведение которых равно 1, называются '''взаимно обратными'''{{sfn |Андронов|1959|с=203—204}}.

'''Примеры'''.
: Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными: <math>+1</math> и <math>-1.</math>
: Обратное для числа <math>2</math> или, если быть точным, <math>\frac21</math> равно <math>\frac12.</math>
: Обратное для числа <math>\frac{11}{35}</math> равно <math>\frac{35}{11}.</math>
: Обратное для числа <math>\pi=3{,}1415926535\dots</math> равно <math>0{,}3183098861\dots</math>

Обратное число не следует путать с [[Противоположное число|противоположным]] или с [[Обратная функция|обратной функцией]]. Обратные: <math>\frac51</math> и <math>\frac15</math>. Противоположные: <math>+5</math> и <math>-5</math>.

Понятие [[Обратный элемент|обратного элемента]] можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов{{переход|Вариации и обобщения}}.

== Обратное к действительному числу ==
Для любого [[Вещественное число|действительного]] (или [[Комплексное число|комплексного]]) числа, отличного от [[Ноль (число)|нуля]], существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде [[дробь (математика)|дроби]] или [[Возведение в степень|степени]] с показателем [[−1 (число)|-1]]. Но, как правило, используется запись через дробь.

{| class="wikitable"
|-align="center"
| rowspan="2" | '''Число''' || colspan="2" | '''Обратное'''
|-align="center"
| '''Дробь''' || '''Степень'''
|-align="center"
| <math>n</math> || <math>\frac{1}{n^1}</math> || <math>n^{-1}</math>
|}

То есть <math>\ \frac{1}{n^1} = n^{-1}</math>.

{| class="standard collapsible"
!colspan=11|Примеры
|-align="center"
|Число|| <math>\frac{3}{1}</math> || <math>\frac{1}{10}</math> || <math>-\frac{2}{7}</math> ||<math>2\pi</math>|| <math>2</math> ||<math>-0,125</math>|| <math>1</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>e^{\frac{\pi}{4}}</math> || <math>10^{23}</math>
|-align="center"
|Обратное|| <math>\frac{1}{3}</math> || <math>\frac{10}{1}</math> || <math>-\frac{7}{2}</math> || <math>\frac{1}{2\pi}</math> ||<math>0,5</math>||<math>-8</math>|| <math>1</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>e^{-\frac{\pi}{4}}</math> || <math>10^{-23}</math>
|}

=== Обратное для нуля ===
В арифметике, которая оперирует действительными или комплексными числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что [[Деление (математика)#Деление на ноль|на ноль делить]] нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода [[Предел функции|предельного перехода]] (в [[Математический анализ|математическом анализе]]), появились такие понятия как [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малая]] и [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно большая]] величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:
* Правый предел: <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{}\ {+\infty}</math>
* Левый предел: <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{}\ {-\infty}</math>

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, [[Формальная логика|формально]] является [[бесконечность]] со знаком [[Сложение|«+»]] или [[Вычитание|«−»]]. Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.
* <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x^2}={+\infty}</math>
Но <math>\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to +0} \frac{x^2}{x}=0</math>

== Обратное к комплексному числу ==
Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: [[Комплексное число#Алгебраическая форма|алгебраическая]], [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|тригонометрическая]] и [[Комплексное число#Показательная форма|показательная]]. 

{| class="wikitable"
|-align="center"
| '''Формы комплексного числа''' || '''Число''' <math>(z)</math> || '''Обратное''' <math>\left ( \frac{1}{z} \right)</math><ref name="z">Обратное <math>\left ( \frac{1}{z} \right )</math> к комплексному числу <math>(z)</math> записывается в такой же [[Комплексное число#Формы представления комплексного числа|форме]], как и само число <math>(z)</math>.</ref>
|-align="center"
| [[Комплексное число#Алгебраическая форма|Алгебраическая]] || <math>x+iy</math> || <math>\frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}</math>
|-align="center"
| [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|Тригонометрическая]] || <math>r(\cos\varphi+i \sin\varphi)</math> || <math>\frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)</math>
|-align="center"
| [[Комплексное число#Показательная форма|Показательная]] || <math>re^{i \varphi}</math> || <math>\frac{1}{r}e^{-i \varphi}</math>
|}

{|
|-
|{{начало скрытого блока|{{nbsp|20}}Обозначение и доказательство{{nbsp|20}}|Рамка = |Фон_заголовка = #DCDCDC}}

{|
|-
|{{начало скрытого блока|Заголовок={{nbsp|20}}Обозначение{{nbsp|20}}|Рамка = |Фон_заголовка = #DCDCDC}}
<math>z \in \mathbb{C}</math> (комплексное число), 
<math>x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}</math> (действительная часть комплексного числа), 
<math>y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}</math> (мнимая часть комплексного числа), 
<math>i</math> — [[мнимая единица]], 
<math>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> (модуль комплексного числа), 
<math>\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math> (аргумент комплексного числа), 
<math>e</math> — [[e (число)|основание натурального логарифма]].
{{конец скрытого блока}}
|}

'''Доказательство:''' 
Для алгебраической и тригонометрической форм используем [[Дробь (математика)#Значение дроби и основное свойство дроби|основное свойство дроби]], умножая числитель и знаменатель на [[Комплексное число#Сопряжённые числа|комплексно-сопряженное]]: 
* '''Алгебраическая форма:'''
<math>\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}</math> 
* '''Тригонометрическая форма:'''
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\varphi+i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{(\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi} = \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)</math> 
* '''Показательная форма:'''
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{re^{i \varphi}} = \frac{1}{r}e^{-i \varphi}</math> 
{{конец скрытого блока}}
|}
Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой. 

'''Пример:'''
{| class="wikitable"
|-align="center"
| '''Формы комплексного числа''' || '''Число''' <math>(z)</math> || '''Обратное''' <math>\left ( \frac{1}{z} \right )</math><ref name="z" />
|-align="center"
| [[Комплексное число#Алгебраическая форма|Алгебраическая]] || <math>1+i \sqrt{3}</math> || <math>\frac{1}{4}- \frac{\sqrt{3}}{4}i</math>
|-align="center"
| [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|Тригонометрическая]] || <math>2 \left ( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \right )</math> 
или 
<math>2 \left ( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )</math><ref name="cos">Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента: <math>\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \ \ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math></ref>
|| <math>\frac{1}{2} \left ( \cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \right )</math> 
или 
<math>\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )</math><ref name="cos" />
|-align="center"
| [[Комплексное число#Показательная форма|Показательная]] || <math>2 e^{i \frac{\pi}{3}}</math> || <math>\frac{1}{2} e^{-i \frac{\pi}{3}}</math>
|}

=== Обратное к мнимой единице ===
Существует лишь два числа ([[Комплексное число#Сопряжённые числа|комплексно-сопряженные]]), обратное и противоположное числа к которым равны. Это <math>\pm i</math>.

{| class="wikitable"
|-align="center"
| rowspan="2" | Число || colspan="2" | Равенство обратного и противоположного
|-align="center"
| Запись обратного через [[Дробь (математика)|дробь]] || Запись обратного через [[Возведение в степень|степень]]
|-align="center"
| <math>i</math> || <math>\frac{1}{i}=-i</math> || <math>i^{-1}=-i</math>
|-align="center"
| <math>-i</math> || <math>- \frac{1}{i}=i</math> || <math>-i^{-1}=i</math>
|}

{|
|-
|{{начало скрытого блока|Заголовок={{nbsp|20}}Доказательство{{nbsp|20}}|Рамка = |Фон_заголовка = #DCDCDC}}
Продемонстрируем доказательство для <math>i</math> (для <math>-i</math> аналогично). 
Используем [[Дробь (математика)#Значение дроби и основное свойство дроби|основное свойство дроби]]: 
<math>\frac{1}{i}=\frac{1 \cdot i}{i \cdot i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i</math> 
Таким образом, получаем 
<math>\frac{1}{i}=-i</math>__или__<math>i^{-1}=-i</math> 
Аналогично для <math>-i</math>: __ <math>- \frac{1}{i}=i</math> __ или __ <math>-i^{-1}=i</math>
{{конец скрытого блока}}
|}

== Вариации и обобщения ==
{{main|Обратный элемент}}
Понятие [[Обратный элемент|обратного элемента]] на произвольном множестве <math>M</math> можно определить для любой [[Бинарная операция|бинарной операции]] на этом множестве, если для этой операции существует [[нейтральный элемент]] — например, в [[Матрица (математика)|кольце квадратных матриц]] заданного порядка. Если операция не [[Ассоциативность (математика)|ассоциативна]], то приходится различать левый и правый обратный элементы.

Элементы [[Кольцо (алгебра)|кольца]], имеющие обратный элемент, называются [[Делитель единицы|делителями единицы]]. Множество всех обратимых элементов кольца образует [[Группа (математика)|мультипликативную группу]], называемую группой обратимых элементов. Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга |автор=[[Андронов, Иван Козьмич|Андронов И. К.]] |заглавие=Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами
|место=Москва |издательство=Учпедгиз |год=1959 |ref=Андронов}}

[[Категория:Арифметика]]

Обратное число - История изменений

imported>LGB: отмена правки 150671493 участника 81.28.218.210 (обс.)