imported>MBHbot: временная отмена для доработки

2025-05-18T18:51:56Z

временная отмена для доработки

Новая страница

'''Область целостности''' (или '''целостное кольцо''', или '''область цельности''' или просто '''область''') — понятие [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебры]]: ассоциативное [[коммутативное кольцо]] без [[делитель нуля|делителей нуля]] (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент.

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой [[Идеал (алгебра)|идеал]] {0} является [[простой идеал|простым]]. Любая область целостности является подкольцом своего [[поле частных|поля частных]].

== Примеры ==
* Пример области целостности — [[Кольцо целых|кольцо целых чисел]] <math>\mathbb Z</math>.
* Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая [[артиново кольцо|артинова]] область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть [[Конечное поле|конечные поля]].
*[[Кольцо многочленов]] с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо <math>\mathbb{Z}[x]</math> многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо <math>\mathbb{R}[x,y]</math> многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Целостным является и кольцо [[формальный степенной ряд|формальных степенных рядов]] с коэффициентами из целостного кольца.
* Множество [[Действительные числа|действительных чисел]] вида <math>a+b\sqrt{2}</math> есть подкольцо поля <math>\mathbb{R}</math>, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество [[Комплексные числа|комплексных чисел]] вида <math>a+bi</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> целые (множество [[Гауссовы целые числа|гауссовых целых чисел]]).
* Пусть <math>U</math> — [[связное пространство|связное]] [[открытое множество|открытое]] подмножество [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]] <math>\mathbb{C}</math>. Тогда кольцо <math>H(U)</math> всех [[голоморфная функция|голоморфных функций]] <math>f:U\rightarrow\mathbb{C}</math> будет целостным. То же самое верно для любого кольца [[Аналитические функции|аналитических функций]], определённых на связном подмножестве аналитического [[многообразие|многообразия]].
* Если <math>K</math> — коммутативное кольцо, а <math>I</math> — идеал в <math>K</math>, то [[факторкольцо]] <math>K/I</math> целостное тогда и только тогда, когда <math>I</math> — [[простой идеал]].

== Делимость, простые и неприводимые элементы ==

Пусть <math>a</math> и <math>b</math> — элементы целостного кольца <math>K</math>. Говорят, что «<math>a</math> делит <math>b</math>» или «<math>a</math> — делитель <math>b</math>» (и пишут <math>a\mid b</math>), тогда и только тогда, когда существует элемент <math>x\in K</math> такой, что <math>ax=b</math>.

Делимость [[Транзитивность|транзитивна]]: если <math>a</math> делит <math>b</math> и <math>b</math> делит <math>c</math>, то <math>a</math> делит <math>c</math>. Если <math>a</math> делит <math>b</math> и <math>c</math>, то <math>a</math> делит также их сумму <math>b+c</math> и разность <math>b-c</math>.

Для [[единица (алгебра)|кольца <math>K</math> с единицей]] ''делители единицы'', то есть элементы <math>a\in K</math>, делящие 1, называются также ''(алгебраическими) единицами''. Они и только они в <math>K</math> имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также [[обратимый элемент|обратимыми элементами]]. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы <math>a</math> и <math>b</math> называются ''ассоциированными'', если <math>a</math> делит <math>b</math> и <math>b</math> делит <math>a</math>. <math>a</math> и <math>b</math> ассоциированны тогда и только тогда, когда
<math>a = be</math>, где <math>e</math> — обратимый элемент.

Ненулевой элемент <math>q</math>, не являющийся единицей, называется ''[[Неприводимый элемент|неприводимым]]'', если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся [[обратимый элемент|обратимыми]].

Ненулевой необратимый элемент <math>p</math> называется ''простым'', если из того, что <math>p\mid ab</math>, следует <math>p\mid a</math> или <math>p\mid b</math>. Это определение обобщает понятие [[простое число|простого числа]] в кольце <math>\mathbb{Z}</math>, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если <math>p</math> — [[простой элемент]] кольца, то порождаемый им главный идеал <math>(p)</math> будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

== Свойства ==

* Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
** Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
*[[Прямое произведение]] колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
* {{нп5|Тензорное произведение колец|Тензорное произведение||Tensor product of rings}} целостных колец тоже будет целостным кольцом.
* [[Характеристика кольца|Характеристика]] области целостности является либо нулём, либо [[Простое число|простым числом]].

== Вариации и обобщения ==
Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности.
Примерами некоммутативных областей целостности являются [[тело (алгебра)|тела]], а также подкольца тел, содержащие единицу, например [[целые кватернионы]].
Однако неверно, что ''любая'' некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

== Литература ==
* {{книга
|автор = Винберг Э.Б.
|заглавие = Курс алгебры
|издание = 3-е изд
|место = {{М}}
|издательство = Факториал Пресс
|год = 2002
|страниц = 544
|isbn = 5-88688-060-7
|тираж = 3000
}}
{{Классы колец}}

[[Категория:Теория колец]]
[[Категория:Коммутативная алгебра]]

Область целостности - История изменений

imported>MBHbot: временная отмена для доработки