imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5) (Movses - 28729

2026-02-24T02:00:05Z

Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5) (Movses - 28729

Новая страница

{{другие значения|норма}}
'''Норма''' — [[функционал]], заданный на [[Векторное пространство|векторном пространстве]] и обобщающий понятие [[Длина вектора|длины]] [[Вектор (математика)|вектора]] или [[Абсолютное значение|абсолютного значения числа]].

== Определение ==

=== Норма вектора ===
{{main|Нормированное пространство}}
Норма в [[Векторное пространство|векторном пространстве]] <math>V\ </math> над [[поле (алгебра)|полем]] [[вещественное число|вещественных]] или [[комплексное число|комплексных чисел]] — это [[функционал]] <math>p\colon V \to \mathbb{R_{+}}</math>, обладающий следующими свойствами:
:# <math>p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;</math>
:# <math>\forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)</math> (''неравенство треугольника'');
:# <math>\forall \alpha \in \Complex, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x).</math>
Эти условия являются ''аксиомами нормы''.

Векторное пространство с нормой называется [[нормированное пространство|нормированным пространством]], а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

<math>\forall x \in V, p(x)\geqslant 0</math>.

Действительно, из третьего свойства следует: <math>p(0_V)=p(0\cdot0_V)=0\cdot p(0_V)=0</math>, а из свойства 2 — <math>\forall x\in V\colon 0=p(0_V)=p(x-x)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)</math>.

Чаще всего норму обозначают в виде: <math>\| \cdot \|</math>. В частности, <math>\| x\| </math> — это норма элемента <math>x</math> векторного пространства <math>\R</math>.

Вектор с единичной нормой <math>\left(\| x\|=1\right) </math> называется ''[[Единичный вектор|единичным]]'' или ''нормированным''.

Любой ненулевой вектор <math>x</math> можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор <math>\frac{x}{\|x\|}</math> имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

=== Норма матрицы ===
{{main|Норма матрицы}}
Нормой [[матрица (математика)|матрицы]] <math>A</math> называется [[вещественное число]] <math>\|A\|</math>, удовлетворяющее ''первым трём'' из следующих условий:
# <math>\|A\| \geqslant 0</math>, причём <math>\|A\| = 0</math> только при <math>A = 0\ </math>;
# <math>\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|</math>, где <math>\alpha\in\R</math>;
# <math>\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|</math>;
# <math>\|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|</math>.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется '''субмультипликативной'''. Матричная норма, составленная как операторная, называется '''подчинённой''' по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма <math>\| \cdot \|_{ab}</math> из <math>K^{m \times n}</math> называется согласованной с векторной нормой <math>\| \cdot \|_{a}</math> из <math>K^n</math> и векторной нормой <math>\| \cdot \|_{b}</math> из <math>K^m</math> если справедливо:
: <math>
\|Ax\|_b \leqslant \|A\|_{ab} \|x\|_a
</math>
для всех <math>A \in K^{m \times n}, x \in K^n</math>.

{{якорь|operator_norm}}

=== Норма оператора ===
{{main|Операторная норма}}
'''Норма''' [[Оператор (математика)|оператора]] <math>A</math> — [[число]], которое определяется так:

: <math>\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|</math>,
:: где <math>A</math> — [[Оператор (математика)|оператор]], действующий из [[нормированное пространство|нормированного пространства]] <math>L</math> в [[нормированное пространство]] <math>K</math>.

Это определение эквивалентно следующему:

: <math>\|A\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}</math>

* Свойства операторных норм:
# <math>\|A\| \geqslant 0</math>, причём <math>\|A\| = 0</math> только при <math>A = 0</math>;
# <math>\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|</math>, где <math>\alpha\in\mathbb{R}</math>;
# <math>\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|</math>;
# <math>\|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|</math>.

В [[размерность пространства|конечномерном]] случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

=== Норма функции ===
Норма функции <math>f(x)</math> в <math>L^2</math> равна<ref>[https://books.google.ru/books?id=8hnTDwAAQBAJ&pg=PA43#v=onepage&q&f=false Толковый словарь русских научно-технических терминов, 2021. — С. 43]</ref>:

<math>\|f\|_2=\sqrt{\int\limits_{a}^b f^2(x) dx}</math>.

Норма функции <math>f(x)</math> в <math>L^p(E)</math> равна:

<math>\|f\|_p=\sqrt[p]{\int\limits_{E} |f(x)|^p dx}</math>.

== Свойства нормы ==
# <math> \| x \| - \| y \| \ \leqslant \| x \pm y \| \leqslant \| x\| + \| y \| </math>
# <math> {\bigl(\| x \| - \| y \|\bigr)}^2 \leqslant {\| x \pm y \|}^2 \leqslant {\bigr(\| x \| + \|y \|\bigl)}^2 </math>
# <math> \frac {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2\|x\|\|y\|}\in [-1,1] </math> [косинус угла]
# <math> \|0_V\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot\|x\|=0 </math>
# <math> 0=\|x-x\|\leqslant\|x\|+\|-x\|=2\|x\| \Rightarrow \|x\|\geqslant0</math>

=== Эквивалентность норм ===
* Две нормы <math>p</math> и <math>q</math> на пространстве <math>V</math> называются '''эквивалентными''', если существует две положительные константы <math>C_1</math> и <math>C_2</math> такие, что для любого <math>x \in V</math> выполняется <math>C_1 p(x) \leqslant q(x) \leqslant C_2 p(x)</math>. Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны<ref>{{Книга |автор=М. Вербицкий |заглавие=Начальный курс топологии. Задачи и теоремы |ссылка=https://books.google.com/books?id=GJRMDwAAQBAJ&pg=PA164 |издательство=Litres |год=2018-12-20 |страницы=163—164 |страниц=346}}</ref>.

== Примеры ==

=== Линейные нормированные пространства ===
[[Файл:Vector norms.svg|frame|right|Изображение [[Единичная окружность|единичных окружностей]] для различных норм.]]

* Любое [[предгильбертово пространство]] можно считать [[Нормированное пространство|нормированным]], так как [[скалярное произведение]] порождает естественную норму
: <math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.</math>

* [[Неравенство Гёльдера|Гёльдеровы]] нормы <math>n</math>-мерных векторов (семейство): <math>\|x\|_p = {\left(\sum_{i} |x_i|^p\right)}^{\frac 1p}</math>,
где <math>p \geqslant 1 </math> (обычно подразумевается, что это натуральное число).
В частности:
:* <math>\|x\|_1 = \sum_{i} |x_{i}|</math>, что также имеет название ''метрика L1'', ''норма <math>\ell_1</math>'' или [[Расстояние городских кварталов|манхэттенское расстояние]]. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.
:* <math>\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i} x^2_{i}}</math>, что также имеет название ''метрика L2'', ''норма <math>\ell_2</math>'' или [[евклидова норма]]<ref>{{Cite web |url=https://num-anal.srcc.msu.ru/prac_pos/poslist/posobie%206%20zadachi%20normy.pdf |title=Арушанян И. О. Избранные задачи для семинарских занятий по численным методам: векторные и матричные нормы, 2019. |archive-date=2024-07-04 |access-date=2025-09-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240704202132/http://num-anal.srcc.msu.ru/prac_pos/poslist/posobie%206%20zadachi%20normy.pdf |url-status=live }}</ref>. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
:* <math>\|x\|_\infty = \max |x_{i}|</math> (это предельный случай <math>p \rightarrow \infty</math>).

* Нормы функций в <math>C[0,1]</math> — [[Пространство непрерывных функций|пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]]]:
** <math>\|f\|_{C[0,1]} = \sup_{x \in [0,1]}|f(x)|</math> — в смысле этой нормы пространство <math>C[0,1]</math> непрерывных на отрезке функций образует [[полное линейное пространство]]. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
** <math>\|f\|_{1}=\int\limits_0^1 |f(t)|\,dt</math>
** <math>\|f\|_{2}=\sqrt{\int\limits_0^1 |f(t)|^2\,dt}</math>
* Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив <math>|f(x)|\ </math> на <math>\|f(x)\|\ </math>, а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

=== L0-«норма» ===
Особым случаем является <math>\ell_0</math> (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в [[Compressive sensing]], где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей <math>\ell_0</math>-нормой. С помощью этой «нормы» может быть определённо [[расстояние Хэмминга]].

=== Некоторые виды матричных норм ===
* Порожденные нормы <math>\|A\|_{p} = \sup_{\|x\|_{p}=1} \|Ax\|_{p}</math>:
** <math>p=1</math>: <math>m</math>-норма, <math>\|A\|_m = \max_j \sum_i |a_{ij}|</math>
** <math>p=2</math> ([[евклидова норма]]) и <math>m=n</math> (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется ''спектральная норма''. Спектральная норма матрицы <math>A</math> равна наибольшему [[Сингулярное число|сингулярному числу]] матрицы <math>A</math> или квадратному корню из наибольшего [[Собственное число|собственного числа]] [[Положительно определённая матрица|положительно полуопределённой]] матрицы <math>A^\dagger A</math>: <math>\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^\dagger A)}</math>, где <math>A^\dagger</math> обозначает матрицу, [[Сопряжённый оператор|сопряжённую]] к матрице <math>A</math>.
** <math>p=\infty</math>: <math>l</math>-норма <math>\|A\|_l = \max_i \sum_j |a_{ij}|</math>
: Здесь <math>A^\dagger</math> — [[Эрмитово-сопряжённая матрица|сопряжённая]] к <math>A</math> матрица, <math>\mathrm{Tr}</math> — [[след матрицы]].
* Поэлементная <math>p</math>-норма (<math>p>0</math>): <math>\|A\|_p = \left( \sum_{i, j} |a_{ij}|^p \right)^{\frac 1p}</math>
** [[Норма Фробениуса]]: <math>\|A\|_F = \|A\|_2 = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2} = \sqrt{\mathrm{Tr}\, A^\dagger A}</math>.

== Связанные понятия ==

=== Топология пространства и норма ===
Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния [[метрическое пространство|метрического пространства]]), порождая таким образом метрическое пространство, а значит [[топологическое пространство|топологию]], базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть [[множество|множества]] вида <math>B(x,r)=\{y\colon\|x-y\|<r\}</math>. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

== См. также ==
* [[Полунорма]]
* [[Метрическое пространство|Метрика]]
* [[Скалярное произведение]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Нет источников |дата=2013-09-09}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Функционалы]]
[[Категория:Векторный анализ]]
[[Категория:Норма (математика)| ]]

Норма (математика) - История изменений

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5) (Movses - 28729