imported>Лиманцев: /* Литература */

2024-07-15T12:50:33Z

Литература

Новая страница

'''Нечёткое множество''' (иногда ''размытое''<ref>{{Книга|автор=|заглавие=Bulletin of the Academy of Sciences of the Georgian SSR|ссылка=https://books.google.com/books?id=0DUoAQAAIAAJ|ответственный=|издание=|место=|издательство=Академия|год=1974|страницы=157|страниц=786|isbn=|isbn2=|archive-date=2017-04-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20170404142410/https://books.google.com/books?id=0DUoAQAAIAAJ}}</ref>, ''туманное''<ref>{{Статья|автор=Козлова Наталья Николаевна|заглавие=Цветовая картина мира в языке|ссылка=http://cyberleninka.ru/article/n/tsvetovaya-kartina-mira-v-yazyke|язык=|издание=Ученые записки Забайкальского государственного университета. Серия: Филология, история, востоковедение|тип=|год=2010|месяц=|число=|том=|выпуск=3|номер=|страницы=|issn=2308-8753|archivedate=2017-04-04|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170404215556/http://cyberleninka.ru/article/n/tsvetovaya-kartina-mira-v-yazyke}}</ref>, ''пушистое''<ref>{{Книга|автор=|заглавие=Химия и жизнь, XXI век|ссылка=https://books.google.com/books?id=m34fAQAAMAAJ|ответственный=|издание=|место=|издательство=Компания "Химия и жизнь"|год=2008|страницы=37|страниц=472|isbn=|isbn2=|archive-date=2017-04-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20170404143029/https://books.google.com/books?id=m34fAQAAMAAJ}}</ref>) — понятие, введённое [[Заде, Лотфи Аскер|Лотфи Заде]] в [[1965 год в науке|1965 году]] в статье «Fuzzy Sets» в журнале {{iw|Information and Control}}<ref>''Лотфи А. Заде'' Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений (пер. с анг. В. А. Горелик, С. А. Орловский, Н. И. Ринго) // Математика сегодня. — М., Знание, 1974. — с. 5-48</ref>, в котором расширил классическое понятие [[множество|множества]], допустив, что [[Индикатор (математика)|характеристическая функция]] множества (названная Заде [[Функция принадлежности|функцией принадлежности]] для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале <math>[0, 1]</math>, а не только значения <math>0</math> или <math>1</math>. Является базовым понятием [[Нечёткая логика|нечёткой логики]].

Устаревшее название: ''расплывчатое множество''<ref>''Леоненков А. В.'' Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 736 с.: ил. ISBN 5-94157-087-2</ref><ref>{{Книга|автор=A. M. Shirokov|заглавие=Основы теории комплектования|ссылка=https://search.rsl.ru/ru/record/01001353751|ответственный=|издание=|место=|издательство=Наука и техника|год=1987|страницы=66|страниц=190|isbn=|isbn2=|archive-date=2021-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20210418100836/https://search.rsl.ru/ru/record/01001353751}}</ref>.

== Определение ==
Под нечётким множеством <math>A</math> понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов <math>x</math> универсального множества <math>X</math> и соответствующих степеней принадлежности <math>\mu_A(x)</math>:
: <math>A = \{(x, \mu_A(x)) \mid x \in X\}</math>,
причём <math>\mu_A(x)</math> — '''[[функция принадлежности]]''' (обобщение понятия '''[[Индикатор (математика)|характеристической функции]]''' обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент <math>x</math> принадлежит нечёткому множеству <math>A</math>.
Функция <math>\mu_A(x) \ </math> принимает значения в некотором [[линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченном множестве]] <math>M</math>. Множество <math>M</math> называют '''множеством принадлежностей''', часто в качестве <math>M</math> выбирается отрезок <math>[0, 1]</math>. Если <math>M = \{0, 1\} \ </math> (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

== Основные определения ==
Пусть <math>A</math> нечёткое множество с элементами из универсального множества <math>X \ </math> и множеством принадлежностей <math>M = [0, 1]</math>. Тогда:
* '''носителем''' ('''суппортом''') нечёткого множества <math>\operatorname{supp} A</math> называется множество <math>\{x \mid x \in X, \mu_A(x) > 0 \}</math>;
* величина <math>\sup_{x \in X} \mu_A(x) </math> называется '''высотой''' нечёткого множества <math>A \ </math>. Нечёткое множество <math>A \ </math> '''нормально''', если его высота равна <math>1 \ </math>. Если высота строго меньше <math>1 \ </math>, нечёткое множество называется '''субнормальным''';
* нечёткое множество пусто, если <math>\forall x \in X :\mu_A(x) = 0</math>. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле
*: <math>\mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}</math>;
* нечёткое множество '''унимодально''', если <math>\mu_A(x) = 1 \ </math> только на одном <math>x \ </math> из <math>X \ </math>;
* элементы <math>x \in X</math>, для которых <math>\mu_A(x) = 0{,}5</math>, называются '''точками перехода''' нечёткого множества <math>A \ </math>.

== Сравнение нечётких множеств ==
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — нечёткие множества, заданные на универсальном множестве <math>X</math>.
* <math>A</math> '''содержится''' в <math>B</math>, если для любого элемента из <math>X</math> функция его принадлежности множеству <math>A</math> будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству <math>B</math>:
*: <math>A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) \leqslant \mu_B(x)</math>.
* В случае, если условие <math>\mu_A(x) \leqslant \mu_B(x)</math> выполняется не для всех <math>x \in X </math>, говорят о '''степени включения нечёткого множества <math>A</math> в <math>B</math>''', которое определяется так:
*: <math>l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)</math>, где <math>T = \{x \in X;\mu_A(x) \leqslant \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}</math>.
* Два множества называются '''равными''', если они содержатся друг в друге:
*: <math>A = B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) = \mu_B(x)</math>.
* В случае, если значения функций принадлежности <math>\mu_A(x)</math> и <math>\mu_B(x)</math> почти равны между собой, говорят о '''степени равенства нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math>''', например, в виде
*: <math>E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|</math>, где <math>T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}</math>.

== Свойства нечётких множеств ==
<math>\alpha</math>-срезом нечёткого множества <math>A\subseteq X</math>, обозначаемым как <math>A_\alpha</math>, называется следующее ''чёткое'' множество:
: <math>A_\alpha= \{x \in X \mid \mu_A(x)\geqslant \alpha\}</math>,
то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):
: <math>\chi_{A_\alpha}(x) =
\left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) < \alpha,
\\ 1, &\mu_A(x) \geqslant \alpha.
\end{matrix}\right.</math>
Для <math>\alpha</math>-среза нечёткого множества истинна импликация:
: <math>\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \supset A_{\alpha_2}</math>.

Нечёткое множество <math>A \subseteq \mathbf{R}</math> является '''выпуклым''' тогда и только тогда, когда выполняется условие:
: <math>\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geqslant \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle</math>
для любых <math>x_1,x_2 \in \mathbf{R}</math> и <math>\gamma \in [0, 1]</math>.

Нечёткое множество <math>A \subseteq \mathbf{R}</math> является '''вогнутым''' тогда и только тогда, когда выполняется условие:
: <math>\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leqslant \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle</math>
для любых <math>x_1,x_2 \in \mathbf{R}</math> и <math>\gamma \in [0, 1]</math>.

== Операции над нечёткими множествами ==
При множестве принадлежностей <math>M = [0, 1] \ </math>
* '''Пересечением''' нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности <math>A</math> и <math>B</math>:
*: <math>\mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>.
* '''Произведением''' нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
*: <math>\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)</math>.
* '''Объединением''' нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности <math>A</math> и <math>B</math>:
*:<math>\mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>.
* '''Суммой''' нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
*: <math>\mu_{A+B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)</math>.
* '''Отрицанием''' множества <math>A \ </math> называется множество <math>\overline A</math> с функцией принадлежности:
*: <math>\mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)</math> для каждого <math>x \in X</math>.

== Альтернативное представление операций над нечёткими множествами ==

=== Пересечение ===
В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:
: <math>\mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>,
где функция <math>T</math> — это так называемая '''[[T-норма]]'''. Ниже приведены частные примеры реализации '''T-нормы''':

* <math>\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>
* <math>\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x)</math>
* <math>\mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \}</math>
* <math>\mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1
\\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=1
\\ 0, & \mu_A(x)<1,\mu_B(x)<1,
\end{matrix}\right.</math>
* <math>\mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\}</math>, для <math>p \geqslant 1</math>

=== Объединение ===
В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:
: <math>\mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>,
где функция <math>S</math> — '''[[T-конорма]]'''. Ниже приведены частные примеры реализации '''S-нормы''':
* <math>\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>
* <math>\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\mu_B(x)</math>
* <math>\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\}</math>
* <math>\mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0
\\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=0
\\ 1, & \mu_A(x)>0,\mu_B(x)>0
\end{matrix}\right.</math>
* <math>\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\}</math>, для <math>p \geqslant 1</math>

== Связь с теорией вероятностей ==
Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к [[теория вероятностей|теории вероятностей]]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности <math>\mu_A(x) \ </math> можно рассматривать как вероятность накрытия элемента <math>x \ </math> некоторым случайным множеством <math>B \ </math>.

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату [[теория вероятностей|теории вероятностей]] и [[прикладная статистика|прикладной статистики]]. Например, в [[Теория управления|теории управления]] существует направление, в котором для синтеза [[экспертный регулятор|экспертных регуляторов]] вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

== Примеры ==
Пусть:
* множество <math>X = \{x_1, x_2, x_3, x_4\}</math>
* множество принадлежностей <math>M = [0, 1]</math>
* <math>A</math> и <math>B</math> — два нечётких подмножества <math>X</math>
** <math>A = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \}</math>
** <math>B = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \}</math>

Результаты основных операций:
* пересечение: <math>{A\cap B} = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \} = {B}</math>
* объединение: <math>{A\cup B} = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \} = {A}</math>


== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Мягкое множество]]
== Литература ==
* {{книга
| автор = Заде Л.
| заглавие = Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений
| место = М.
| издательство = Мир
| год = 1976
| страниц = 166
| isbn =
| ref = Заде
}}
* {{книга
| автор = Кофман А.
| заглавие = Введение в теорию нечетких множеств
| место = М.
| издательство = Радио и связь
| год = 1982
| страниц = 432
| isbn =
| ref = Кофман
}}
* {{книга
| автор =
| ответственный = Р. Р. Ягер
| заглавие = Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения
| место = М.
| издательство = Радио и связь
| год = 1986
| isbn =
| ref = Нечеткие множества и теория возможностей
}}
* {{статья|автор=Zadeh L. A.|заглавие=Fuzzy sets|издание=Information and Control|год=1965|том=8|номер=3|pages=338-353}}
* {{книга
| автор = Орловский С. А.
| ответственный =
| заглавие = Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации
| место = М.
| издательство = Наука
| год = 1981
| isbn =
| страниц = 208
| тираж = 7600
| ref = Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации
}}

{{Теория множеств}}

[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Нечёткая логика]]

Нечёткое множество - История изменений

imported>Лиманцев: /* Литература */