imported>QBA-bot: Защитил страницу Неравенство треугольника: повторяющиеся неконсенсусные правки ([Редактирование=только автоподтверждённые] (истекает 05:11, 25 октября 2025 (UTC)) [Переименование=только автоподтверждённые] (истекает 05:11, 25 октября 2025 (UTC)))

2025-10-18T05:11:31Z

Защитил страницу Неравенство треугольника: повторяющиеся неконсенсусные правки ([Редактирование=только автоподтверждённые] (истекает 05:11, 25 октября 2025 (UTC)) [Переименование=только автоподтверждённые] (истекает 05:11, 25 октября 2025 (UTC)))

Новая страница

'''Нера́венство треуго́льника''' в [[Геометрия|геометрии]], [[Функциональный анализ|функциональном анализе]] и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния.
Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон{{sfn|Шилов|1961|с=29}} (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны не больше суммы длин двух других сторон{{sfn|Шилов|1961|с=26}}).

== Евклидова геометрия ==
[[Файл:Triangle inequality С.png|thumb|250px|right|Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.]]

Неравенство
: <math>AC \leqslant AB+BC,</math>
выполняется в любом [[треугольник]]е <math>\triangle ABC</math>{{sfn|Шилов|1961|с=25}}.
Причём [[равенство (математика)|равенство]] <math>AC = AB+BC</math> достигается только тогда, когда треугольник [[Вырождение (математика)|вырожден]], и точка <math>B</math> лежит на отрезке <math>AC</math>.

[[Евклид]] в ''[[Начала Евклида|Началах]]'' доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

== Нормированное пространство ==
Пусть <math>(X,\|\cdot\|)</math> — [[нормированное векторное пространство]], где <math>X</math> — произвольное [[множество]], а <math>\|\cdot\|</math> — определённая на <math>X</math> [[Норма (математика)|норма]]. Тогда по определению последней справедливо:
: <math>\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|,\quad \forall x,y\in X.</math>

=== Гильбертово пространство ===
В [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]], неравенство треугольника является следствием [[Неравенство Коши — Буняковского|неравенства Коши — Буняковского]].

== Метрическое пространство ==
Пусть <math>(X,\rho)</math> — [[метрическое пространство]], где <math>X</math> — произвольное [[множество]], а <math>\rho</math> — определённая на <math>X</math> [[Метрическое пространство|метрика]]. Тогда по определению последней
: <math>\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y),\quad x,y,z\in X.</math>

== Вариации и обобщения ==
* <math>d(x,z) \leqslant \max( d(x,y), d(y,z) )</math> [[Сильное неравенство треугольника]]

=== Обратное неравенство треугольника ===
Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:
* <math>\bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;</math>
* <math>| \rho(x,y) - \rho(x,z) | \leqslant \rho(y,z), \quad x,y,z\in X.</math>

=== Неравенство треугольника для трёхгранного угла ===
{{see also|Сферическая геометрия}}
Каждый [[угол|плоский угол]] выпуклого [[трёхгранный угол|трёхгранного угла]] меньше суммы двух других его плоских углов.

=== Произвольное число точек ===
Обозначим <math>\rho(x_{i}, x_{j})</math> [[расстояние]] между точками <math>x_{i}</math> и <math>x_{j}</math>. Тогда имеет место следующее неравенство: <math>\rho(x_{1}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{3}) + ... + \rho(x_{m-1}, x_{m}) </math>. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: <math>\rho(x_{1}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{3}) + \rho(x_{3}, x_{m}) \leqslant ...</math>{{sfn|Шилов|1961|с=28}}

== См. также ==
* [[Неравенство четырёхугольника]]
* [[Теорема о внешнем угле треугольника]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
| автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]
| заглавие = Математический анализ. Специальный курс
| издательство = Физматлит
| год = 1961
| страниц = 436
| ref = Шилов
}}

[[Категория:Метрическая геометрия]]
[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Теоремы линейной алгебры|Т]]
[[Категория:Неравенства]]

Неравенство треугольника - История изменений