imported>Mikhail Ryazanov: /* Частные случаи */ оформление

2025-05-05T05:19:08Z

Частные случаи: оформление

Новая страница

[[Файл:Convex-function-graph-1.png|thumb|Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что [[Секущая прямая|хорда]] к [[график функции|графику]] [[выпуклая функция|выпуклой функции]] находится над графиком]]

'''Нера́венство Йе́нсена''' — [[неравенство]], связанное с понятием [[Выпуклая функция|выпуклой функции]].

== Формулировки ==

=== Сумматорный вариант неравенства ===
Пусть функция <math>f</math> является [[Выпуклая функция|выпуклой]] на некотором интервале <math>I</math> и числа <math>\ q_1,q_2,\ldots,q_n</math> (веса) таковы, что
<math display="block">
q_1, q_2, \ldots, q_n > 0</math> и <math>q_1 + q_2 + \ldots + q_n = 1.
</math>
Тогда каковы бы ни были числа <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> из <math>I</math>, выполняется неравенство, известное под названием неравенства [[Иоган Йенсен|Йенсена]]:
<math display="block">
f(q_1 x_1 + q_2 x_2 + \ldots + q_n x_n) \leqslant q_1 f(x_1) + q_2 f(x_2) + \ldots + q_n f(x_n),
</math>
или
<math display="block">
f\left(\sum_{i=1}^n q_i x_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^n q_i f (x_i).
</math>

Замечания:
* Если функция <math>f(x)</math> вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
* Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю <math>q_1 = q_2 = \frac{1}{2}</math>: <math display="block">
f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leqslant \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}.
</math>

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

{{Hider
|hidden = 1
|title = Доказательство
|title-style = text-align: left
|content =
Доказательство проводится [[Математическая индукция|методом математической индукции]].
* Для <math>n = 2</math> неравенство следует из определения [[Выпуклая функция|выпуклой функции]] как функции, [[надграфик]] которой является выпуклым множеством, и, следовательно, хорда, стягивающая точки <math>\big(x_1, f(x_1)\big)</math> и <math>\big(x_2, f(x_2)\big)</math>, лежит выше графика. Неравенство Йенсена означает это соотношение для точек графика и хорды, абсциссы которых равны <math>q_1 x_1 + q_2 x_2</math>.
* Допустим, что неравенство верно для какого-либо [[Натуральное число|натурального числа]] <math>n</math>, докажем, что оно верно и для <math>n + 1</math>, то есть <math display="block">
f(q_1 x_1 + q_2 x_2 + \ldots + q_n x_n + q_{n+1} x_{n+1}) \leqslant q_1 f(x_1) + q_2f(x_2) + \ldots + q_n f(x_n) + q_{n+1}f(x_{n+1}).
</math> С этой целью заменим слева сумму двух последних слагаемых <math>q_n f(x_n) + q_{n+1} f(x_{n+1})</math> одним слагаемым <math display="block">
(q_n + q_{n+1}) \left(\frac{q_n}{q_n + q_{n+1}} f(x_n) + \frac{q_{n+1}}{q_n + q_{n+1}} f(x_{n+1})\right);
</math> это даст возможность воспользоваться неравенством для <math>n</math> и установить, что выражение выше не превосходит суммы <math display="block">
q_1 f(x_1) + q_2 f(x_2) + \ldots + (q_n + q_{n+1}) f\left(\frac{q_n}{q_n + q_{n+1}} x_n + \frac{q_{n+1}}{q_n + q_{n+1}} x_{n+1}\right).
</math> Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для <math>n = 2</math>. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.
}}

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

=== Геометрическая интерпретация ===
Точка <math>\Big(\sum\limits_{i=1}^n q_i x_i; \sum\limits_{i=1}^n q_i f(x_i)\Big)</math> является [[Выпуклая комбинация|выпуклой комбинацией]] <math>n</math> точек <math>\big(x_1, f(x_1)\big), \big(x_2, f(x_2)\big), \dots, \big(x_n, f(x_n)\big)</math> плоскости, лежащих на графике функции <math>f</math>. Из определения выпуклой функции следует, что [[выпуклая оболочка]] этого множества точек лежит над графиком функции <math>f</math>, а это и означает, что <math>f\Big(\sum\limits_{i=1}^n q_i x_i\Big) \leqslant \sum\limits_{i=1}^n q_i f(x_i)</math>.

=== Интегральная формулировка ===
Пусть <math>\varphi</math> — выпуклая функция, <math>\mu</math> — [[вероятностная мера]], а функции <math>f</math> и <math>\varphi(f)</math> интегрируемы. Тогда<ref>{{книга |автор={{автор||Durrett R.}} |заглавие=Probability: Theory and Examples |язык=en |издание=5th ed. |издательство=[[Cambridge University Press]] |год=2019 |страницы=25 |doi=10.1017/9781108591034 }}</ref>
<math display="block">
\varphi\left(\int f \,d\mu\right) \leqslant \int \varphi(f) \,d\mu.
</math>

Для случая [[Мера Лебега|меры Лебега]] это неравенство имеет вид
<math display="block">
\varphi\left(\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \,dx\right) \leqslant \frac{1}{b - a} \int_a^b \varphi\big(f(x)\big) \,dx.
</math>

=== Вероятностная формулировка ===
Пусть <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — [[вероятностное пространство]], и <math>X \colon \Omega \to \mathbb{R}</math> — определённая на нём [[случайная величина]].
Пусть также <math>\varphi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — выпуклая (вниз) [[Борелевы функции|борелевская функция]].
Тогда если <math>X, \varphi(X) \in L^1(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>, то
<math display="block">
\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)],
</math>
где <math>\mathbb{E}[\cdot]</math> означает [[математическое ожидание]].

==== Неравенство Йенсена для условного математического ожидания ====
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, <math>\mathcal{G} \subset \mathcal{F}</math> — [[Сигма-алгебра|под-σ-алгебра]] [[Случайное событие|событий]]. Тогда
<math display="block">
\varphi(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X) \mid \mathcal{G}],
</math>
где <math>\mathbb{E}[\cdot \mid \mathcal{G}]</math> обозначает [[условное математическое ожидание]] относительно σ-алгебры <math>\mathcal{G}</math>.

== Частные случаи ==

=== [[Неравенство Гёльдера]] ===
Пусть <math>a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n</math> — положительные числа, <math>p, q > 1</math>, причём <math>\frac1p + \frac1q = 1</math>. Тогда
<math display="block">
\sum_{i=1}^n a_i b_i \leqslant \Big(\sum_{i=1}^n a_i^p\Big)^\frac{1}{p} \Big(\sum_{i=1}^n b_i^q\Big)^\frac{1}{q}.
</math>

=== [[Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом]] ===
Пусть <math>f(x) = \ln x</math> (вогнутая функция). Имеем:
<math display="block">
\sum _{i=1}^n q_i \ln x_i \leqslant \ln\Big(\sum_{i=1}^n q_i x_i\Big),
</math>
или
<math display="block">
\ln\prod_{i=1}^n x_i^{q_i} \leqslant \ln\sum_{i=1}^n q_i x_i.
</math>
Потенцируя, получаем неравенство
<math display="block">
\prod_{i=1}^n x_i^{q_i} \leqslant \sum_{i=1}^n q_i x_i.
</math>
В частности, при <math>q_i = \frac{1}{n}</math> получаем [[Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим|неравенство Коши]] ([[среднее геометрическое]] не превосходит [[Среднее арифметическое|среднего арифметического]]):
<math display="block">
\sqrt[n]{x_1 \ldots x_n} \leqslant \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}.
</math>

=== Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим ===
Пусть <math>f(x) = x \ln x</math> (выпуклая функция). Имеем:
<math display="block">
\Big(\sum_{i=1}^n q_i x_i\Big) \ln\Big(\sum_{i=1}^n q_i x_i\Big) \leqslant \sum_{i=1}^n q_i x_i \ln x_i.
</math>
Положив
<math display="block">
q_i = \frac{\dfrac{1}{x_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i}}
</math>
и потенцируя, получаем:
<math display="block">
\frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}} \leqslant (x_1 \cdot \ldots \cdot x_n)^{1/n}
</math>
([[среднее гармоническое]] не превосходит [[среднее геометрическое|среднего геометрического]]).

=== Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим ===
Пусть <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> (выпуклая функция). Имеем:
<math display="block">
\frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^n q_i x_i} \leqslant \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{x_i}.
</math>
В частности при <math>q_i = \frac{1}{n}</math> получаем, что [[среднее гармоническое]] не превосходит [[Среднее арифметическое|среднего арифметического]]:
<math display="block">
\frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}} \leqslant \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}.
</math>

== См. также ==
* [[Неравенство Юнга]]
* [[Неравенство Минковского]]
* [[Неравенство Гюйгенса]]
* [[Неравенство Гёльдера]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]|часть=Гл. V. Дифференциальное исчисление|заглавие=Математический анализ. Часть I|издание=6-е изд|место=М.|издательство=[[МЦНМО]]|год=2012|страницы=289—290|isbn=978-5-94057-892-5|тираж=2000}}
* {{книга|автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]|часть=Гл. IV. Исследование функций с помощью производных|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления|издание=8-е изд|место=М.|издательство=ФИЗМАТЛИТ|год=2001|том=1|страницы=336—337|isbn=5-9221-0156-0|тираж=5000}}

{{нет сносок|дата=2023-07-21}}

[[Категория:Неравенства|Йенсена]]
[[Категория:Теория вероятностей]]
[[Категория:Числовые неравенства|Йенсена]]
[[Категория:Теоремы математического анализа|Йенсена]]
[[Категория:Вероятностные неравенства|Йенсена]]
[[Категория:Выпуклый анализ]]

Неравенство Йенсена - История изменений

imported>Mikhail Ryazanov: /* Частные случаи */ оформление