imported>Lesless: откат правок 2A03:D000:110:A88F:9D7C:6299:9718:C9C4 (обс.) к версии LGB

2024-08-23T10:18:36Z

откат правок 2A03:D000:110:A88F:9D7C:6299:9718:C9C4 (обс.) к версии LGB

Новая страница

'''Нера́венство [[Бернулли, Якоб|Берну́лли]]''' утверждает<ref name=BS212/>: если [[вещественное число]] <math>x > -1</math>, то:
: <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx</math> для всех [[Натуральное число|натуральных]] <math>n\geqslant 1.</math>

== Доказательство ==

Доказательство неравенства проводится методом [[математическая индукция|математической индукции]] по ''n''.
При ''n'' = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для ''n'', докажем его верность для ''n''+1:
: <math>(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geqslant (1+x)(1+nx) \geqslant (1+nx)+x = 1+(n+1)x</math>,
[[ч.т.д.]]

== Обобщенное неравенство Бернулли ==
'''Обобщенное неравенство Бернулли''' утверждает{{sfn |Бронштейн, Семендяев|1985|с=212|name=BS212}}, что при <math>x > - 1 \!\ </math> и <math>n\in\mathbb{R}</math>:
* если <math> n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )</math>, то <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx</math>
* если <math> n\in(0;1) \!\ </math>, то <math>(1+x)^n\leqslant 1+nx</math>
* при этом равенство достигается в двух случаях: <math>\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.</math>

{{Доказ1|
Рассмотрим <math>f(x)=(1+x)^n-nx \!\ </math>, причем <math>x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\ </math>.<br />
Производная <math>f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\ </math> при <math>x=x_0=0 \!\ </math>, поскольку <math>n \neq 0 \!\ </math>.<br />
Функция <math>f \!\ </math> дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки <math>x_0 \!\ </math>. Поэтому <math>f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\ </math>. Получаем:<br />
* <math>f''(x)>0 \!\ </math> ⇒ <math> f(x) \geqslant f(x_0) \!\ </math> при <math> n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty ) </math>
* <math>f''(x)<0 \!\ </math> ⇒ <math> f(x) \leqslant f(x_0) \!\ </math> при <math> n\in(0;1) \!\ </math>
Значение функции <math>f(x_0)=1 \!\ </math>, следовательно, справедливы следующие утверждения:
* если <math> n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )</math>, то <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx</math>
* если <math> n\in(0;1] \!\ </math>, то <math>(1+x)^n\leqslant 1+nx</math>
Несложно заметить, что при соответствующих значениях <math>x_0=0 \!\ </math> или <math>n=0, n=1 \!\ </math> функция <math>f(x)=f(x_0) \!\ </math>. При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на <math>n \!\ </math>, заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство.
}}

== Замечания ==
* Неравенство также справедливо для <math>x\geqslant -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), если исключить случай, когда получается [[ноль в степени ноль]]. Доказательство для случая <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> можно провести тем же методом математической индукции:
: <math>(1+x)^{n+1} + (1+x)^n = (1+x)^n(1+x+1) \geqslant (1+nx)(1+x+1) = 1+(n+1)x+1+nx(1+x).</math>

Так как при <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> выполняется <math>(1+x)^n \leqslant 1 \leqslant 1+nx(1+x)</math>, то <math>(1+x)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)x</math>.

* Неравенство Бернулли также может быть представлено в виде:
: <math>(1+x)^{n} > 1+nx, \text{ где }
\begin{cases}
x>-1 \\
x\neq 0 \\
n > 1, n\in \mathbb{N} \\
\end{cases}.</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев К. А.]] |ref=Бронштейн, Семендяев
|заглавие=[[Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов]]
|издание=изд. 13-е |страниц=544 |место=М. |издательство=Наука |год=1985 }}

[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Неравенства]]
[[Категория:Числовые неравенства]]

Неравенство Бернулли - История изменений

imported>Lesless: откат правок 2A03:D000:110:A88F:9D7C:6299:9718:C9C4 (обс.) к версии LGB