imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 46.53.253.154 - R:5E ORES: 0.8576

2025-11-18T00:12:15Z

автоматическая отмена правки участника 46.53.253.154 - R:5E ORES: 0.8576

Новая страница

{{о|непрерывной числовой функции|непрерывных отображениях в различных разделах математики|непрерывное отображение}}
'''Непрерывная функция''' — [[Функция (математика)|функция]], которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых ''разрывами''), то есть такая, малые изменения [[Функция (математика)#Определения|аргумента]] которой приводят к малым изменениям значения функции.

Современное определение непрерывной функции дал [[Больцано, Бернард|Бернард Больцано]].

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия [[непрерывное отображение]], тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на [[Вещественное число|вещественной прямой]].
Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
Вариацию этого понятия для функций [[Комплексное число|комплексной переменной]] см. в статье [[Комплексный анализ]].

== Определение ==
[[Файл:Continuidad de funciones 04.svg|200px|right]]
Пусть <math>D\subset\R</math> и <math>f: D\to\R</math>.
Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке <math>x_0\in D</math>.

* '''Определение через [[Предел функции|предел]]:''' функция <math>f</math> ''непрерывна в точке'' <math>x_0</math>, ''[[Предельная точка|предельной]] для множества'' <math>D</math>, если <math>f</math> ''имеет предел'' в точке <math>x_0</math>, и этот предел ''совпадает со значением функции'' <math>f(x_0)</math>:
*: <math>\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)</math>
* '''Определение, использующее ''ε-δ-формализм'':''' функция <math>f</math> ''непрерывна в точке'' <math>x_0\in D</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует <math>\delta>0</math> такое, что для любого <math>x\in D</math>,
*: <math>|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.</math>
: Комментарий: По сравнению с [[Предел функции#Предел функции по Коши|определением предела функции по Коши]] в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента <math>x</math> удовлетворять условию <math>0 < \left\vert x - x_0 \right\vert</math>, то есть быть отличными от <math>x_0</math>.
* '''Определение, использующее [[o-нотация|o-символику]]''': функция <math>f</math> ''непрерывна в точке'' <math>x_0</math>, если
*: <math>f(x_0+\delta) = f(x_0) + o(1)</math>, при <math>\delta \to 0</math>.
* '''Определение через колебания''': функция непрерывна в точке, если её [[Колебание функции|колебание]] в данной точке равно нулю.

Функция <math>f</math> ''непрерывна на множестве'' <math>E</math>, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция <math>f</math> класса <math>C^0</math> и пишут: <math>f\in C^0(E)</math> или, подробнее, <math>f\in C^0(E, \mathbb{R})</math>.

== Точки разрыва ==
{{перенаправление|Точка разрыва}}
Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция '''терпит в данной точке разрыв'''. Другими словами, если <math>A</math> — значение функции <math>f</math> в точке <math>a</math>, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с <math>A</math>. На языке окрестностей условие разрывности функции <math>f</math> в точке <math>a</math> получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки <math>A</math> области значений функции <math>f</math>, что как бы мы близко не подходили к точке <math>a</math> области определения функции <math>f</math>, всегда найдутся такие точки, чьи [[Функция (математика)#Образ и прообраз (при отображении)|образы]] будут за пределами окрестности точки <math>A</math>.

=== Классификация точек разрыва в ℝ¹ ===
Классификация разрывов функций <math>f: X \to Y</math> зависит от того, как устроены множества ''X'' и ''Y''. Здесь приведена классификация для простейшего случая — <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>. Таким же образом классифицируют и [[особая точка|особые точки]] (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в <math>\mathbb{R}</math> различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций ''односторонних пределов'':
* если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют '''точкой разрыва первого рода'''. К точкам разрыва первого рода относят '''устранимые разрывы''' и '''скачки'''.
* если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют '''точкой разрыва второго рода'''. К точкам разрыва второго рода относят '''полюса''' и '''точки существенного разрыва'''.

<gallery class= center widths=200px>
Discontinuity removable.eps.png|Устранимый разрыв
Discontinuity jump.eps.png|Разрыв типа «скачок»
DiscuntinuaAsimp.png|Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x{{=}}2 — получится разрыв «полюс».
Discontinuity essential.svg|Точка существенного разрыва
</gallery>

==== Устранимая точка разрыва ====
Если предел функции ''существует и конечен'', но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
: <math>\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a)</math>,
то точка <math>a</math> называется ''точкой устранимого разрыва'' функции <math>f</math> (при отсутствии <math>f(a)</math> — [[устранимая особая точка]]).

Если «поправить» функцию <math>f</math> в точке устранимого разрыва и положить <math>f(a) := \lim\limits_{x\to a} f(x)</math>, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется ''доопределением функции до непрерывной'' или ''доопределением функции по непрерывности'', что и обосновывает название точки, как точки ''устранимого'' разрыва.

Пример функции, имеющей точку устранимого разрыва <math>x_0</math>:
<math display=block>f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{ for } x < x_0 \\ 0 & \text{ for } x = x_0 \\ x_0^2+x_0-x & \text{ for } x > x_0 \end{cases}</math>

==== Точка разрыва «скачок» ====
Разрыв «скачок» (особая точка «скачок») возникает, если
: <math>\lim\limits_{x\to a-0} f(x) \neq \lim\limits_{x\to a+0} f(x)</math>, и пределы конечны.

==== Точка разрыва «полюс» ====
Разрыв «полюс» (особая точка «полюс») возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.
: <math>\lim\limits_{x\to a-0} f(x) = \pm \infty</math> или <math>\lim\limits_{x\to a+0} f(x) = \pm \infty</math>.{{нет АИ|19|12|2015}}

==== Точка существенного разрыва ====
В точке существенного разрыва (существенной особой точке) хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

=== Классификация изолированных особых точек в ℝ<sup>n</sup>, n>1 ===
Для функций <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> и <math>f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.
* Если <math>\exists \lim\limits_{x\to a} f(x)</math>, то это [[устранимая особая точка]] (аналогично функции действительного аргумента).
* [[Полюс (комплексный анализ)|Полюс]] определяется как <math>\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty</math>. В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что <math>f(x) \to \infty</math>, каким путём бы он ни рос.{{нет АИ|19|12|2015}}
* Если предел вообще не существует, это [[существенно особая точка|существенная особая точка]].

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в <math>\mathbb{R}</math> считается скачком, в пространствах бо́льших размерностей — существенная особая точка.

== Свойства ==

=== Локальные ===
* Функция, непрерывная в точке <math>a</math>, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
* Если функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>a</math> и <math>f(a)>0</math> (или <math>f(a)<0</math>), то <math>f(x)>0</math> (или <math>f(x)<0</math>) для всех <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>.
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> непрерывны в точке <math>a</math>, то функции <math>f+g</math> и <math>f \cdot g</math> тоже непрерывны в точке <math>a</math>.
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> непрерывны в точке <math>a</math> и при этом <math>g(a)\neq 0</math>, то функция <math>f/g</math> тоже непрерывна в точке <math>a</math>.
* Если функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>a</math> и функция <math>g</math> непрерывна в точке <math>b=f(a)</math>, то их [[Композиция функций|композиция]] <math>h=g\circ f</math> непрерывна в точке <math>a</math>.

=== Глобальные ===
* [[Теорема о равномерной непрерывности]]: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом [[Компактное пространство|компактном множестве]]), [[равномерная непрерывность|равномерно непрерывна]] на нём.
* [[Теорема Вейерштрасса о функции на компакте]]: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом [[Компактное пространство|компактном множестве]]), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
* Областью значений функции <math>f</math>, непрерывной на отрезке <math>[a,b]</math>, является отрезок <math>[\min f, \ \max f],</math> где минимум и максимум берутся по отрезку <math>[a,b]</math>.
* Если функция <math>f</math> непрерывна на отрезке <math>[a,b]</math> и <math>f(a)\cdot f(b)<0,</math> то существует точка <math>\xi \in (a,b),</math> в которой <math>f(\xi)=0</math>.
* [[Теорема о промежуточном значении]]: если функция <math>f</math> непрерывна на отрезке <math>[a,b]</math> и число <math>\varphi</math> удовлетворяет неравенству <math>f(a)< \varphi < f(b)</math> или неравенству <math>f(a)> \varphi > f(b),</math> то существует точка <math>\xi \in (a,b),</math> в которой <math>f(\xi)=\varphi</math>.
* Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую [[Инъекция (математика)|инъективно]] в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго [[Монотонная функция|монотонна]].
* [[Монотонная функция]] на отрезке <math>[a,b]</math> непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами <math>f(a)</math> и <math>f(b)</math>.
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> непрерывны на отрезке <math>[a,b]</math>, причем <math>f(a)< g(a)</math> и <math>f(b) > g(b),</math> то существует точка <math>\xi \in (a,b),</math> в которой <math>f(\xi)=g(\xi).</math> Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну [[Неподвижная точка|неподвижную точку]].
* [[График функции|График]] непрерывной на отрезке функции является [[кривая|кривой]].

== Примеры ==

=== Элементарные функции ===
Произвольные [[многочлен]]ы, [[Рациональная функция|рациональные функции]], [[Показательная функция|показательные функции]], [[логарифм]]ы, [[Тригонометрические функции|тригонометрические функции (прямые и обратные)]] непрерывны везде в своей области определения.

=== Функция с устранимым разрывом ===
Функция <math>f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R},</math> задаваемая формулой
: <math>f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases}</math>

непрерывна в любой точке <math>x \neq 0.</math> Точка <math>x=0</math> является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции
: <math>\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq f(0).</math>

=== Функция знака ===
Функция
: <math>f(x) = \sgn x = \begin{cases}
-1, & x < 0 \\
0, & x = 0 \\
1, & x > 0
\end{cases},\quad x\in \R</math>

называется [[Функция знака|функцией знака]].

Эта функция непрерывна в каждой точке <math>x \neq 0</math>.

Точка <math>x=0</math> является точкой разрыва ''первого рода'', причём
: <math>\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x)</math>,
в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

=== Функция Хевисайда ===
[[Функция Хевисайда]], определяемая как
: <math>f(x) = \begin{cases}
1,& x \geqslant 0\\
0, & x < 0
\end{cases},\quad x\in \mathbb{R}</math>
является всюду непрерывной, кроме точки <math>x=0</math>, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке <math>x=0</math> существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером '''непрерывной справа''' функции ''на всей области определения''.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как
: <math>f(x) = \begin{cases}
1,& x > 0\\
0, & x \leqslant 0
\end{cases},\quad x\in \mathbb{R}</math>

является примером '''непрерывной слева''' функции ''на всей области определения''.

=== Функция Дирихле ===
{{main|Функция Дирихле}}
Функция
: <math>f(x) = \begin{cases}
1,& x \in \mathbb{Q}\\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}</math>
называется [[Функция Дирихле|функцией Дирихле]]. По сути, функция Дирихле — это [[характеристическая функция множества]] [[Рациональные числа|рациональных чисел]]. Эта функция '''разрывна в каждой точке''', поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

=== Функция Римана ===
{{main|Функция Римана (ТФДП)}}
Функция
: <math>f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},\ \text{НОД}(m,n) = 1 \\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}</math>
называется [[Функция Римана (ТФДП)|функцией Римана]] или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве [[иррациональное число|иррациональных чисел]] (<math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math>), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность <math>x_k = m_k/n_k \to x \notin \mathbb{Q}</math>, то с необходимостью <math>n_k \to \infty</math>).
Во всех же рациональных точках она разрывна.

== Вариации и обобщения ==

=== Равномерная непрерывность ===
{{main|Равномерная непрерывность}}

Функция <math>f</math> называется '''равномерно непрерывной''' на <math>E</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует <math>\delta>0</math> такое, что для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> таких, что <math>|x_1-x_2|<\delta</math>, выполняется <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>.

Каждая равномерно непрерывная на множестве <math>E</math> функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

=== Полунепрерывность ===
Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность ''снизу'' и полунепрерывность ''сверху'':
* функция <math>f</math> называется '''полунепрерывной снизу''' в точке <math>a</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такая окрестность <math>U_E(a)</math>, что <math>f(x)>f(a)-\varepsilon</math> для всякого <math>x\in U_E(a)</math>;
* функция <math>f</math> называется '''полунепрерывной сверху''' в точке <math>a</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такая окрестность <math>U_E(a)</math>, что <math>f(x)<f(a)+\varepsilon</math> для всякого <math>x\in U_E(a)</math>.
Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:
* если взять функцию <math>f</math>, непрерывную в точке <math>a</math>, и ''уменьшить'' значение <math>f(a)</math> (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную ''снизу'' в точке <math>a</math>;
* если взять функцию <math>f</math>, непрерывную в точке <math>a</math>, и ''увеличить'' значение <math>f(a)</math> (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную ''сверху'' в точке <math>a</math>.
В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:
* если <math>f(a)=-\infty</math>, то будем считать такую функцию ''полунепрерывной снизу'' в точке <math>a</math>;
* если <math>f(a)=+\infty</math>, то будем считать такую функцию ''полунепрерывной сверху'' в точке <math>a</math>.

=== Односторонняя непрерывность ===
Функция <math>f</math> называется '''непрерывной слева (справа)''' в точке <math>x_0</math> её области определения, если для [[Односторонний предел|одностороннего предела]] выполняется равенство: <math>f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-} f(x)</math> <math>(f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0+} f(x)).</math>

=== Непрерывность почти всюду ===
На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная [[мера Лебега]]. Если функция <math>f</math> такова, что она непрерывна всюду на <math>E</math>, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется ''непрерывной почти всюду''.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]|заглавие=Математический анализ, часть I|место={{М.}}|издательство=Физматлит|год=1984|страниц=544}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Типы функций]]

Непрерывная функция - История изменений

imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 46.53.253.154 - R:5E ORES: 0.8576