imported>Bezik: стилевые правки

2025-09-07T20:48:09Z

стилевые правки

Новая страница

'''Нейтральный элемент''' — элемент, который относительно заданной [[бинарная операция|бинарной операции]] оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам: в [[Магма (алгебра)|магме]] <math>(M,*)</math> элемент <math>e \in M</math> называется нейтральным относительно <math>*</math> если <math>x * e = e * x = x</math> для любых <math>x \in M</math>.

В случаях [[Коммутативная операция|некоммутативных операций]] вводят ''левый нейтральный элемент'' <math>e_{\mathrm l}</math>, для которого <math>e_{\mathrm l} * x = x</math> и ''правый нейтральный элемент'' <math>e_{\mathrm r}</math>, для которого <math> x * e_{\mathrm r} = x</math> для любых <math>x \in M</math>. В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и левый нейтральный элемент <math>e_{\mathrm l}</math>, и правый нейтральный <math>e_{\mathrm r}</math>, то они обязаны совпадать (так как <math>e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l} * e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l}</math>).

Если бинарную операцию рассматривают как обобщение сложения («аддитивная нотация»), то нейтральный элемент обычно называют нулём, если умножения («мультипликативная нотация») — то единицей; обозначают их обычно соответственно <math>\mathrm 0</math> и <math>\mathrm 1</math>. Например, в [[Поле (алгебра)|полях]] нулём называют нейтральный элемент по сложению, а единицей — нейтральный элемент по умножению. В [[Теория порядков|порядках]], [[Решётка (алгебра)|решётках]] и подобных им структурах нейтральный элемент по взятию точной верхней грани часто обозначают <math>\bot</math>, а по взятию точной нижней грани — <math>\top</math>.

Магма с делением (то есть [[Квазигруппа (математика)|квазигруппа]]), оснащённая нейтральным элементом является [[Лупа (алгебра)|лупой]]. Магма с [[Ассоциативность (математика)|ассоциативной операцией]] (то есть [[полугруппа]]) с нейтральным элементом — [[моноид]]. В кольце по определению всегда имеется нейтральный элемент по сложению — нуль, а в [[Кольцо с единицей|кольцах с единицей]] имеется также нейтральный элемент по умножению — единица.

Примеры:
{| class="wikitable"
!Множество!!Бинарная операция!!Нейтральный элемент
|-
|[[Вещественные числа]]||<math>+</math> ([[сложение]])||{{num1|0|число 0}}
|-
|Вещественные числа||<math>\cdot</math> ([[умножение]])||{{num1|1|число 1}}
|-
|Вещественные числа||<math>-</math> ([[вычитание]])||число 0 (нейтральный справа)
|-
|Вещественные числа|| <math>a^b</math> ([[возведение в степень]])||число 1 (нейтральный справа)
|-
|[[Расширенная числовая прямая]] || <math>\div</math> ([[деление (математика)|деление]]) || число 1 (нейтральный справа)
|-
|[[Вектор (математика)#Евклидовы и нормированные пространства|Векторное пространство]]||<math>+</math> ([[Вектор (математика)#Сложение|сложение векторов]])||<math>\vec 0</math> ([[Нулевой вектор|нуль-вектор]])
|-
|[[Матрица (математика)|Матрицы]] размера <math>m \times n</math>|| <math>+</math> (матричное сложение)||[[нулевая матрица]]
|-
|Матрицы размера <math>n \times n</math>|| <math>\times</math> (матричное произведение)||[[единичная матрица]]
|-
|[[Функция (математика)|Функции]] вида <math>f:M\to M</math>|| <math>\circ</math> ([[композиция функций]])||[[тождественное отображение]]
|-
|Символьные строки|| [[конкатенация]] || [[пустая строка]]
|-
|Расширенная числовая прямая || <math>\min</math> ([[Минимальный элемент|минимум]]) или <math>\inf</math> ([[инфимум]]) || <math>+\infty</math>
|-
|Расширенная числовая прямая || <math>\max</math> ([[Максимальный элемент|максимум]]) или <math>\sup</math> ([[супремум]]) || <math>-\infty</math>
|-
|Подмножества [[Множество|множества]] <math>M</math> || <math>\cap</math> ([[пересечение множеств]]) || <math>M</math>
|-
|Множества || <math>\cup</math> ([[объединение множеств]]) || <math>\varnothing</math> ([[пустое множество]])
|-
|[[Исчисление высказываний]] || <math>\wedge</math> ([[конъюнкция]]) || <math>\top</math> (истина)
|-
|Исчисление высказываний || <math>\lor</math> ([[дизъюнкция]]) || <math>\bot</math> (ложь)
|-
|}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|IdentityElement|Identity Element}}

[[Категория:Общая алгебра]]
[[Категория:Бинарные операции]]

Нейтральный элемент - История изменений

imported>Bezik: стилевые правки